Interested Article - Цепочка уравнений Боголюбова

Цепочка уравнений Боголюбова ( цепочка ББГКИ , иерархия ББГКИ , цепочка уравнений Боголюбова — Борна — Грина — Кирквуда — Ивона ) — система уравнений эволюции системы, состоящей из большого числа тождественных взаимодействующих частиц, заключенных в некотором объёме $V$ . Последовательность уравнений ББГКИ выражает эволюцию s - через (s+1) -частичную функцию распределения. Названа в честь Боголюбова , Борна , Грина , Кирквуда и (Yvon).

Формулировка

Рассмотрим систему из $N$ частиц с парным взаимодействием, находящуюся во внешнем поле. Пусть $\mathbf {q} _{i},\mathbf {p} _{i}$ — обобщенные координаты и импульсы i -ой частицы, $\Phi ^{ext}(\mathbf {q} _{i})$ — потенциал взаимодействия с внешнем полем, $\Phi _{ij}(\mathbf {q} _{i},\mathbf {q} _{j})$ — потенциал (парного) взаимодействия частиц. Функция распределения полной системы $f_{N}=f_{N}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{N},t)$ удовлетворяет уравнению Лиувилля

{\frac {\partial f_{N}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}\mathbf {\dot {q}} _{i}{\frac {\partial f_{N}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}+\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\partial \Phi _{i}^{ext}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}-\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial \Phi _{ij}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}\right){\frac {\partial f_{N}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=0

Рассматриваемая цепочка уравнений получается последовательным интегрированием уравнения Лиувилля по части переменных. В результате уравнение для s -частичной функции распределения $f_{s}=f_{s}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{s},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{s},t)$ имеет вид:

{\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{s}\mathbf {\dot {q}} _{i}{\frac {\partial f_{s}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}+\sum _{i=1}^{s}\left(-{\frac {\partial \Phi _{i}^{ext}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}-\sum _{j=1}^{s}{\frac {\partial \Phi _{ij}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}\right){\frac {\partial f_{s}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=\sum _{i=1}^{s}\left(N-s\right){\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} _{i}}}\int {\frac {\partial \Phi _{is+1}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}f_{s+1}\,d\mathbf {q} _{s+1}d\mathbf {p} _{s+1}

Применение

Полученная цепочка зацепляющихся уравнений эквивалентна исходному уравнению Лиувилля и тем самым не описывает необратимость. К тому же, сложность её решения совпадает со сложностью решения уравнения Лиувилля. Однако при её обрыве и некоторых дополнительных предположениях симметричность по времени исчезает, как например при получении из цепочки ББГКИ классических и квантовых кинетических уравнений, и в частности, уравнения Больцмана . Подобные упрощения делают иерархию ББГКИ отправной точкой для многих кинетических теорий .

Примечания

Боголюбов Н. Н. Кинетические уравнения // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1946. — Т. 16 (8) . — С. 691—702 .
Боголюбов Н. Н. , Гуров К. П. Кинетические уравнения в квантовой механике // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1947. — Т. 17 (7) . — С. 614—628 .

Литература

Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. — М. : Изд-во Гостехиздат, 1946. — 120 с.
Боголюбов Н. Н. . — М. : Изд-во МГУ, 1979.
Боголюбов Н. Н. Собрание научных трудов: в 12-ти тт. — М. : Наука, 2006. — Т. 5: Неравновесная статистическая механика, 1939—1980. — ISBN 5020341428 .
Гуров К. П. Основания кинетической теории (метод Н. Н. Боголюбова). — М. : Наука, 1966. — 352 с.
Шелест А. В. Метод Боголюбова в динамической теории кинетических уравнений. — М. : Наука, 1990. — 159 с. — ISBN 5020140309 .