Interested Article - Теорема Крылова — Боголюбова

Теорема Крылова — Боголюбова — утверждает существование инвариантных мер у «хороших» отображений, определённых на «хороших» пространствах. Существуют две вариации теоремы, для динамических систем и для марковских процессов

Теорема доказана математиком Н. М. Крыловым и физиком-теоретиком , математиком Н. Н. Боголюбовым . (переиздано в ).

Динамическая формулировка

Пусть — непрерывное отображение метрического компакта в себя. Тогда на существует хотя бы одна - инвариантная мера , которая может быть выбрана таким образом, что она будет неразложимой, или эргодической .

Замечания

  • Условие -инвариантности, , означает, что мера прообраза любого борелевского множества равна мере этого множества,
при этом в случае необратимого отображения мера не обязана равняться мере .
  • Например, мера Лебега инвариантна для удвоения окружности , однако мера дуги не равна мере её образа, дуги .

Доказательство

Доказательство теоремы опирается на так называемую процедуру Крылова — Боголюбова — процедуру выделения сходящейся подпоследовательности из последовательности временных средних произвольной начальной меры.

А именно, берётся произвольная начальная мера , и рассматривается последовательность её временных средних:

Временные средние являются всё более и более -инвариантными:

Поэтому предел любой сходящейся подпоследовательности последовательности временных средних является инвариантной мерой для отображения . Но пространство вероятностных мер на метрическом компакте компактно (в смысле *-слабой топологии), поэтому по меньшей мере одна точка накопления у последовательности найдётся — что и завершает доказательство.

Замечания

  • В случае, если в качестве меры берётся мера Дирака (сосредоточенная в типичной начальной точке) или мера Лебега, сходимость последовательности соответствует существованию меры Синая — Рюэлля — Боуэна .

Формулировка для марковских процессов

Пусть X польское пространство и пусть ( P t ) — семейство вероятностей перехода некоторой однородной марковской полугруппы на X , то есть

Если существует , для которого семейство вероятностных мер { P t ( x , ·) | t > 0 } и полугруппа ( P t ) удовлетворяет , то существует по крайней мере одна инвариантная мера для ( P t ), то есть такая вероятностная мера μ на X , что

Вариации и обобщения

  • Точно такие же рассуждения, только связанные с усреднением по , позволяют доказать, что для любого непрерывного действия аменабельной группы на метрическом компакте найдётся инвариантная относительно этого действия мера.

Ссылки

  1. Боголюбов Н. Н., Крылов Н. М. (1937): «Общая теория меры в нелинейной механике». — Киев.
  2. N. N. Bogoliubov and N. M. Krylov. La theorie generalie de la mesure dans son application a l'etude de systemes dynamiques de la mecanique non-lineaire (фр.) // Ann. Math. II. — 1937. — Т. 38 . — С. 65—113 . Zbl. 16.86.
  3. «Николай Николаевич Боголюбов. Собрание научных трудов в 12 томах. РАН. Том 1: Математика». — М.: Наука, 2005. ISBN 5-02-034463-X .
  4. , с. 177.

Литература

Источник —

Same as Теорема Крылова — Боголюбова