Линейный функционал
называется
банаховым пределом
если выполняются следующие 3 условия:
1)
2)
для любых
3)
для любого
, где
— оператор сдвига, действующий следующим образом:
Существование таких пределов было доказано
Стефаном Банахом
. Из определения следует, что
и
, если
последовательность
сходится
. Множество банаховых пределов обозначается как
.
—
выпуклое
замкнутое
множество на единичной сфере пространства
. Из неравенства треугольника следует, что для любых
справедливо неравенство
. Если
и
являются крайними точками множества
, то
.
Содержание
Лемма 1
Различные банаховы пределы несравнимы, то есть если
, то
.
Для того, чтобы при указанных условиях данное представление было единственным, необходимо и достаточно, чтобы
.
Доказательство
Необходимость условий 1.—3. вытекает из определения банаховых пределов. Для доказательства достаточности определим функционал
Используя свойства 1.—3. получаем:
Для
справедливо, что
,
значит
— банахов предел. То же самое верно для функционала
. По построению
. Докажем единственность такого представления при
. Пусть
при
.
Выше доказано, что
, аналогичные рассуждения показывают, что
. По лемме 1 получаем
Теорема доказана
.
Понятие почти сходимости
Для заданных
,
, для любых
равномерно по
. Последнее равенство называется
критерием Лоренца
. Его можно уточнить следующим образом
:
Последовательность
называется
почти сходящейся
к числу
, если значения всех банаховых пределов на этой последовательности равны
. Используется следующее обозначение:
. Множество почти сходящихся последовательностей имеет обозначение
.
—
линейное
не
сепарабельное
пространство,
замкнутое
и
нигде не плотное
в
. Множество почти сходящихся к числу
последовательностей обозначается как
. Ясно, что
для любого
.
Пример
Последовательность
не имеет
обычного предела
, но
. Для проверки равенства можно использовать критерий Лоренца или свойство данной последовательности:
.
Также можно будет использовать следующую лемму:
Лемма 2
Любая периодическая последовательность почти сходится к числу, равному среднему арифметическому значений по периоду
.
Характеристические функции
Системой Радемахера
называется последовательность функций
Каждому
можно поставить в соответствие функцию
которая называется
характеристической функцией
банахова предела
.
—
комплекснозначная
функция
.
Теорема 2
Если
и
для всех
, то
для всех
.
Свойства характеристических функций
Пусть
, тогда
периодична, причём периодом является любое двоично-рациональное число из