Линейный функционал ${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } \in l_{\infty }^{*}}$ называется банаховым пределом если выполняются следующие 3 условия:
1) ${\displaystyle B(\mathbf {1} )=1}$

2) ${\displaystyle B\geq 0}$ для любых ${\displaystyle x\geq 0}$

3) ${\displaystyle B(Tx)=B(x)}$ для любого ${\displaystyle x\in l_{\infty }}$ , где ${\displaystyle T}$ — оператор сдвига, действующий следующим образом: ${\displaystyle T(x_{1},x_{2},x_{3},...)=(x_{2},x_{3},...)}$

Существование таких пределов было доказано Стефаном Банахом . Из определения следует, что ${\displaystyle \|B\|_{l_{\infty }^{*}}=1}$ и ${\displaystyle B(x_{1},x_{2},...)=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$ , если последовательность ${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$ сходится . Множество банаховых пределов обозначается как ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ . ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ — выпуклое замкнутое множество на единичной сфере пространства ${\displaystyle l_{\infty }^{*}}$ . Из неравенства треугольника следует, что для любых ${\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {B}}}$ справедливо неравенство ${\displaystyle \|B_{1}-B_{2}\|\leq 2}$ . Если ${\displaystyle B_{1}}$ и ${\displaystyle B_{2}}$ являются крайними точками множества ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ , то ${\displaystyle \|B_{1}-B_{2}\|=2}$ .

Лемма 1

Различные банаховы пределы несравнимы, то есть если ${\displaystyle B_{1}(x)\leq B_{2}(x)\quad \forall x\in l_{\infty }\quad x\geq 0}$ , то ${\displaystyle B_{1}(x)=B_{2}(x)}$ .

Теорема 1

Функционал ${\displaystyle f\in l_{\infty }^{*}}$ можно представить в виде ${\displaystyle f=B_{1}-B_{2}}$ ( ${\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {B}}}$ ) тогда и только тогда , когда

1. ${\displaystyle f(Tx)=f(x)}$ для всех ${\displaystyle x\in l_{\infty }}$
2. ${\displaystyle f(\mathbf {1} )=1}$
3. ${\displaystyle \|f\|_{l_{\infty }^{*}}\leq 2}$

Для того, чтобы при указанных условиях данное представление было единственным, необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle \|f\|_{l_{\infty }^{*}}=2}$ .

Понятие почти сходимости

Для заданных ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{1}}$ , ${\displaystyle x\in l_{\infty }}$ , для любых ${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } \in {\mathfrak {B}}}$

${\displaystyle B(x)=a\quad \Leftrightarrow \quad \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=m+1}^{m+n}x_{k}=a}$

равномерно по ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ . Последнее равенство называется критерием Лоренца . Его можно уточнить следующим образом :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\inf _{m\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n}}\sum _{k=m+1}^{m+n}x_{k}\leq B(x)\leq \lim _{n\to \infty }\sup _{m\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n}}\sum _{k=m+1}^{m+n}x_{k}}$

Последовательность ${\displaystyle x\in l_{\infty }}$ называется почти сходящейся к числу ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{1}}$ , если значения всех банаховых пределов на этой последовательности равны ${\displaystyle a}$ . Используется следующее обозначение: ${\displaystyle Lim\,x_{k}=a}$ . Множество почти сходящихся последовательностей имеет обозначение ${\displaystyle ac}$ . ${\displaystyle ac}$ — линейное не сепарабельное пространство, замкнутое и нигде не плотное в ${\displaystyle l_{\infty }}$ . Множество почти сходящихся к числу ${\displaystyle s}$ последовательностей обозначается как ${\displaystyle ac_{s}}$ . Ясно, что ${\displaystyle ac_{s}\subset ac}$ для любого ${\displaystyle s}$ .

Пример

Последовательность ${\displaystyle x=(1,0,1,0,...)}$ не имеет обычного предела , но ${\displaystyle Lim\,x={\frac {1}{2}}}$ . Для проверки равенства можно использовать критерий Лоренца или свойство данной последовательности: ${\displaystyle x_{k}=1-x_{k+1}}$ .

${\displaystyle Lim\,x_{k}=Lim\,(\mathbf {1} -x_{k+1})=1-Lim\,x_{k+1}=1-Lim\,x_{k}}$

Также можно будет использовать следующую лемму:

Лемма 2

Любая периодическая последовательность почти сходится к числу, равному среднему арифметическому значений по периоду .

Характеристические функции

Системой Радемахера называется последовательность функций

${\displaystyle r_{n}(t)=\operatorname {sgn} \sin(2^{n}\pi t)\quad n\in \mathbb {N} \quad t\in [0,1]}$

Каждому ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$ можно поставить в соответствие функцию

${\displaystyle f_{B}(t)=B(r_{n}(t))}$

которая называется характеристической функцией банахова предела ${\displaystyle B}$ . ${\displaystyle f_{B}}$ — комплекснозначная функция .

Теорема 2

Если ${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {B}}}$ и ${\displaystyle f_{A}(t)\leq f_{B}(t)}$ для всех ${\displaystyle t\in (0,1)}$ , то ${\displaystyle A=B}$ для всех ${\displaystyle x\in l_{\infty }}$ .

Свойства характеристических функций

Пусть ${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {B}}}$ , тогда

1. ${\displaystyle f_{B}(t)}$ периодична, причём периодом является любое двоично-рациональное число из ${\displaystyle (0,1)}$
2. ${\displaystyle f_{B}(t)=f_{B}({\frac {t}{2}})}$ для любых ${\displaystyle t\in (0,1)}$
3. ${\displaystyle \forall \lambda \in [0,1]\,\exists \,x\in 2^{\mathbb {N} }\cap ac}$ , что ${\displaystyle B(x)=\lambda }$ для любого ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$ и ${\displaystyle Im\,f_{B}=[-1,1]}$
4. график ${\displaystyle f_{B}}$ плотен в прямоугольнике ${\displaystyle [0,1]\times [-1,1]}$
5. ${\displaystyle f_{B}(t)+f_{B}(1-t)=0}$ для всех ${\displaystyle t\in (0,1)}$

Источники

Примечания

Литература

• Стефан Банах . Théorie Opérations Linéaires. — Варшава , 1932.
• Е.М. Семёнов, Ф.А. Сукочёв. Характеристические функции банаховых пределов (рус.) // Сибирский математический журнал. — 2010. — Т. 51 , № 4 .
• E.Semenov and F.Sukochev. Extreme points of the set of banach limits (англ.) .
• Lorentz G.G. Contribution to the theory of divergent sequences. — Acta Math, 1948. — С. 167-190. (англ.)
• Усачёв А.А. / Е.М. Семёнов. — Воронеж: ВГУ , 2009. — 93 с.
• Sucheston L. (англ.) // Amer. Math. Monthly. — 1967. — Vol. 74, no. 3 . — P. 308—311. (англ.)