Interested Article - Банаховы пределы

Линейный функционал называется банаховым пределом если выполняются следующие 3 условия:
1)

2) для любых

3) для любого , где — оператор сдвига, действующий следующим образом:

Существование таких пределов было доказано Стефаном Банахом . Из определения следует, что и , если последовательность сходится . Множество банаховых пределов обозначается как . выпуклое замкнутое множество на единичной сфере пространства . Из неравенства треугольника следует, что для любых справедливо неравенство . Если и являются крайними точками множества , то .

Лемма 1

Различные банаховы пределы несравнимы, то есть если , то .

Теорема 1

Функционал можно представить в виде ( ) тогда и только тогда , когда

  1. для всех

Для того, чтобы при указанных условиях данное представление было единственным, необходимо и достаточно, чтобы .

Понятие почти сходимости

Для заданных , , для любых

равномерно по . Последнее равенство называется критерием Лоренца . Его можно уточнить следующим образом :

Последовательность называется почти сходящейся к числу , если значения всех банаховых пределов на этой последовательности равны . Используется следующее обозначение: . Множество почти сходящихся последовательностей имеет обозначение . линейное не сепарабельное пространство, замкнутое и нигде не плотное в . Множество почти сходящихся к числу последовательностей обозначается как . Ясно, что для любого .

Пример

Последовательность не имеет обычного предела , но . Для проверки равенства можно использовать критерий Лоренца или свойство данной последовательности: .

Также можно будет использовать следующую лемму:

Лемма 2

Любая периодическая последовательность почти сходится к числу, равному среднему арифметическому значений по периоду .

Характеристические функции

Системой Радемахера называется последовательность функций

Каждому можно поставить в соответствие функцию

которая называется характеристической функцией банахова предела . комплекснозначная функция .

Теорема 2

Если и для всех , то для всех .

Свойства характеристических функций

Пусть , тогда

  1. периодична, причём периодом является любое двоично-рациональное число из
  2. для любых
  3. , что для любого и
  4. график плотен в прямоугольнике
  5. для всех

Источники

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .

Примечания

  1. Здесь и далее под понимается последовательность

Литература

  • Стефан Банах . Théorie Opérations Linéaires. — Варшава , 1932.
  • Е.М. Семёнов, Ф.А. Сукочёв. Характеристические функции банаховых пределов // Сибирский математический журнал. — 2010. — Т. 51 , № 4 .
  • E.Semenov and F.Sukochev. Extreme points of the set of banach limits (англ.) .
  • Lorentz G.G. Contribution to the theory of divergent sequences. — Acta Math, 1948. — С. 167-190. (англ.)
  • Усачёв А.А. / Е.М. Семёнов. — Воронеж: ВГУ , 2009. — 93 с.
  • Sucheston L. (англ.) // Amer. Math. Monthly. — 1967. — Vol. 74, no. 3 . — P. 308—311. (англ.)
Источник —

Same as Банаховы пределы