Принцип равномерной ограниченности или Теорема Банаха — Штейнгауза — фундаментальный результат функционального анализа . Теорема утверждает, что поточечная и равномерная ограниченности эквивалентны для семейств непрерывных линейных операторов, заданных на Банаховом пространстве .

История

Теорема была доказана Банахом и Штейнгаузом и независимо Хансом Ханом .

Формулировка

Пусть ${\displaystyle X}$ — Банахово пространство , ${\displaystyle Y}$ — нормированное векторное пространство , ${\displaystyle F}$ — семейство линейных непрерывных операторов из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ . Предположим, что для любого ${\displaystyle x\in X}$ выполняется

${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty .}$

Тогда

${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F,\|x\|=1}\|T(x)\|_{Y}=\sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{{\mathcal {L}}(X,Y)}<\infty .}$

Следствия

Если последовательность ограниченных операторов на банаховом пространстве сходится поточечно, то её поточечный предел является ограниченным оператором.

Вариации и обобщения

• Бочечное пространство — наиболее общий тип пространств в которых выполняется принцип равномерной ограниченности.

• Принцип ограниченности выполняется для семейств отображений из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y,}$ если ${\displaystyle X}$ является пространством Бэра и ${\displaystyle Y}$ — .

Список литературы

• Banach, Stefan ; Steinhaus, Hugo (1927), (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 9 : 50—61 (фр.)
• Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces , Elements of mathematics, Springer, ISBN 978-3-540-42338-6
• Dieudonné, Jean (1970), Treatise on analysis, Volume 2 , Academic Press .
• Rudin, Walter (1966), Real and complex analysis , McGraw-Hill .
• Shtern, A.I. (2001), , in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4 .
• Sokal, Alan (2011), "A really simple elementary proof of the uniform boundedness theorem", Amer. Math. Monthly , 118 : 450—452, arXiv : , doi : .
• Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.