Радика́льная ось двух окружностей — геометрическое место точек , степени которых относительно двух заданных окружностей равны. Иными словами, равны длины четырёх касательных, проведенных к двум данным окружностям из любой точки M данного геометрического места точек.

Радикальная ось двух окружностей существует тогда и только тогда, когда окружности неконцентрические, и может быть определена как для окружностей, так и для точек (окружностей нулевого радиуса) и (мнимого радиуса).

Свойства радикальной оси

• Радикальная ось является прямой. Поскольку степень точки относительно окружности равна ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+Ax+By+C,}$ где коэффициенты A, B и C определяются через координаты центра и радиус окружности, то, приравняв степени точки относительно двух окружностей, получим ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=x^{2}+y^{2}+A_{2}x+B_{2}y+C_{2}\Leftrightarrow (A_{1}-A_{2})x+(B_{1}-B_{2})y+(C_{1}-C_{2})=0,}$ а это уравнение прямой. Существует также доказательство этого факта с использованием только геометрических методов.
• Радикальная ось перпендикулярна линии центров, что следует из симметричности обеих окружностей относительно линии центров.
• Если P — точка на радикальной оси, то длины касательных из точки P к обеим окружностям равны — это следует из того, что степень точки равна квадрату длины отрезка касательной. В частности, радикальная ось делит пополам отрезки общих касательных.

• Если окружности пересекаются в двух точках, то их радикальной осью будет прямая, проходящая через эти точки, если они касаются внешним образом — то радикальной осью будет общая внутренняя касательная, если внутренним — то общая касательная (единственная).

• Если прямые, содержащие хорды ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ первой и второй окружности соответственно пересекаются на радикальной оси, то четырёхугольник ${\displaystyle ABCD}$ вписанный . Это несложно доказать: пусть ${\displaystyle P}$ — точка пересечения. По свойству степени точки, она равна ${\displaystyle PA\cdot PB,}$ а так как P лежит на радикальной оси, то она равна и ${\displaystyle PC\cdot PD.}$ Так как ${\displaystyle PA\cdot PB=PC\cdot PD,}$ то точки ${\displaystyle A,B,C}$ и ${\displaystyle D}$ лежат на одной окружности. Верно и обратное: если две окружности пересечь третьей так, что ${\displaystyle AB}$ — общая хорда первой и третьей, а ${\displaystyle CD}$ — общая хорда второй и третьей, то прямые AB и CD пересекутся на радикальной оси первых двух окружностей, причём в так называемом радикальном центре трёх окружностей (см. ниже). На этом свойстве основано построение радикальной оси циркулем и линейкой: построим окружность, пересекающую две данные в четырёх точках, а затем опустим из их радикального центра перпендикуляр на линию центров.

• Радикальные оси трёх окружностей с неколлинеарными центрами пересекаются в одной точке, называемой радикальным центром . Пусть ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2},\Omega _{3}}$ — окружности, а ${\displaystyle P}$ — точка пересечения радикальной оси окружностей ${\displaystyle \Omega _{1}}$ и ${\displaystyle \Omega _{2}}$ с радикальной осью окружностей ${\displaystyle \Omega _{2}}$ и ${\displaystyle \Omega _{3}}$ . Если ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(\omega ,A)}$ — степень точки ${\displaystyle A}$ относительно окружности ${\displaystyle \omega ,}$ то по определению радикальной оси ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(\Omega _{1},P)={\mathfrak {P}}(\Omega _{2},P)={\mathfrak {P}}(\Omega _{3},P),}$ и точка ${\displaystyle P}$ лежит на радикальной оси окружностей ${\displaystyle \Omega _{1}}$ и ${\displaystyle \Omega _{3}.}$
• Геометрическое место центров окружностей, ортогональных двум данным, есть их радикальная ось с исключённой общей хордой (если она есть). См. рис.

• Антигомологические хорды ^{[ уточнить ]} двух окружностей пересекаются на их радикальной оси (видимо, имеются в виду две хорды, проходящие через две пары антигомотетических точек двух окружностей, см. рис. ниже).
• Пусть ${\displaystyle ABCD}$ — четырёхугольник, прямые ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ пересекаются в точке ${\displaystyle F}$ , ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AD}$ — в ${\displaystyle E}$ . Тогда окружности, построенные на отрезках ${\displaystyle AC}$ , ${\displaystyle BD}$ и ${\displaystyle EF}$ , как на диаметрах, имеют общую радикальную ось, на которой лежат точки пересечения высот треугольников ${\displaystyle ABE}$ , ${\displaystyle CDE}$ , ${\displaystyle BCF}$ и ${\displaystyle ADF}$ ( прямая Обера — Штейнера ).

Ортогональность

• Две окружности, пересекающиеся под прямым углом , называются ортогональными . Окружности можно считать ортогональными , если они образуют прямой угол друг с другом.
• Две пересекающиеся в точках A и B окружности с центрами O и O' называются ортогональными , если являются прямыми углы OAO' и OBO' . Именно это условие гарантирует прямой угол между окружностями. В этом случае перпендикулярны радиусы (нормали) двух окружностей, проведенные в точку их пересечения. Следовательно, перпендикулярны и касательные двух окружностей, проведенные в точку их пересечения. Касательная окружности перпендикулярна радиусу (нормали), проведенному в точку касания. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведенными в точке их пересечения.
• Возможно другое дополнительное условие. Пусть две пересекающиеся в точках A и B окружности имеют середины пресекающихся дуг в точках C и D , то есть дуга AС равна дуге СB , дуга AD равна дуге DB . Тогда эти окружности называются ортогональными , если являются прямыми углы СAD и СBD .

Следствия из свойств радикальной оси

• На прямой, проходящей через точки касания двух вневписанных окружностей треугольника с двумя его сторонами, эти вневписанные окружности отсекают равные отрезки.
• Последнее можно сформулировать так. Если 2 вневписанные окружности треугольника касаются 2 его разных сторон и 2 их продолжений в 4 точках касания, то образуемый 4 последними точками, как вершинами, четырехугольник есть равнобокая трапеция, у которой равны 2 боковые стороны, а также равны две диагонали (касательные к 2 окружностям).
• Диагонали описанного около окружности шестиугольника, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке ( теорема Брианшона для окружности).

Ссылки

• На Викискладе есть медиафайлы по теме

См. также

• Радикальный центр