Слоение коразмерности 1 — это разбиение многообразия на непересекающиеся подмножества которые локально выглядят как поверхности уровня гладких регулярных функций.

Определение

На ${\displaystyle n}$ -мерном многообразии ${\displaystyle M}$ задано слоение коразмерности 1 , если ${\displaystyle M}$ наделено разбиением на линейно связные подмножества ${\displaystyle L_{\alpha }}$ со следующим свойством: в окрестности любой точки из ${\displaystyle M}$ найдется локальная система координат ${\displaystyle x^{1},\dots ,x^{n}:U\to \mathbb {R} }$ , в которой связные компоненты множества ${\displaystyle L_{\alpha }\cap U}$ состоят из решений ${\displaystyle x^{n}={const}}$ .

Множества ${\displaystyle L_{\alpha }}$ называются слоями слоения, ${\displaystyle M}$ — его тотальным пространством .

Слои наделяются топологией , базу которой составляют связные компоненты пересечения слоя с открытыми подмножествами тотального многообразразия ${\displaystyle M}$ . По отношению к этой топологии слой является гладким многообразием, и его включение в тотальное многообразие вложением в слабом смысле.

Связанные определения

Определяющая 1-форма слоения

Определяющая 1-форма слоения в открытом множестве ${\displaystyle U\subset M}$ — это гладкая 1-форма ${\displaystyle \omega }$ , не равная нулю в ${\displaystyle U}$ , ограничение которой на компоненту пересечения любого слоя с ${\displaystyle U}$ тривиально.

Не всякая ненулевая 1-форма определяет слоение в ${\displaystyle U}$ , требуется, чтобы был выполнен критерий интегрируемости Фробениуса :

Гладкая 1-форма ${\displaystyle \omega }$ , не равная нулю в ${\displaystyle U}$ , определяет слоение тогда и только тогда, когда в ${\displaystyle U}$ выполняется одно из двух эквивалентных условий

1. существует гладкая 1-форма ${\displaystyle \eta }$ такая что ${\displaystyle d\omega =\eta \wedge \omega }$ ,
2. ${\displaystyle \omega \wedge d\omega =0}$ .

В частности, всякая замкнутая 1-форма определяет слоение.

Если ${\displaystyle U=M}$ , мы имеем глобальную определяющую форму . Слоение коразмерности 1 определяется глобальной 1-формой в том и только в том случае, если оно ориентируемо , и выбор этой 1-формы приводит к выбору определенной ориентации.

Глобальная определяющая форма ${\displaystyle \omega \neq 0}$ может быть замкнутой, ${\displaystyle d\omega =0}$ , только в том случае, когда многообразие является расслоением над окружностью .

Класс Годбийона-Вея

Для ориентируемых слоений коразмерности 1 определяется класс Годбийона — Вея :

Ориентируемое слоение ${\displaystyle F}$ задается глобальной формой ${\displaystyle \omega \neq 0}$ , удовлетворяющей условию интегрируемости; следовательно, существует гладкая 1-форма ${\displaystyle \eta }$ такая что ${\displaystyle d\omega =\eta \wedge \omega }$ . Классом Годбийона-Вея слоения ${\displaystyle F}$ называется формы ${\displaystyle \eta \wedge d\eta }$ .

На трехмерном многообразии можно определить число Годбийона-Вея , оно равно значению класса Годбийона — Вея на фундаментальном гомологическом классе .

Геометрический смысл класса Годбийона — Вея остается неясным — известные в настоящее время теоремы показывают, что слоение с нетривиальным классом Годбийона — Вея являются достаточно запутанными.

Примеры

• Гладкое расслоение над одномерным многообразием
• Нарезка тора ${\displaystyle T^{2}}$ на окружности или иррациональная обмотка,
• Слоение Риба на сфере ${\displaystyle S^{3}}$

Наряду со слоением Риба имеются явные конструкции слоений коразмерности 1 на ряде других многообразий, в частности, на всех нечетномерных сферах ${\displaystyle S^{2k+1}}$ .

Свойства

• На связном открытом многообразии такое слоение всегда существует .
• На замкнутом многообразии ${\displaystyle M}$ для существования слоения коразмерности 1 необходимо и достаточно, чтобы эйлерова характеристика многообразия ${\displaystyle \chi (M)}$ была равна нулю, ${\displaystyle \chi (M)=0}$ .
  • В частности, это справедливо для всех нечетномерных замкнутых многообразий ${\displaystyle M^{2k+1}}$ . Для поверхности ${\displaystyle M_{g}^{2}}$ эйлерова характеристика ${\displaystyle \chi (M_{g}^{2})=2-2g}$ , поэтому среди всех двумерных поверхностей только на торе ${\displaystyle T^{2}}$ существует гладкое слоение.

Литература

• И. Тамура . Топология слоений — М: Мир, 1979.

• Д. Б. Фукс . Слоения — Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151–213

Примечания