Класс Понтрягина — характеристический класс , определенный для вещественных векторных расслоений . Понятие введено в 1947 году советским математиком Л. С. Понтрягиным .

Для векторного расслоения ${\displaystyle \xi }$ с базой ${\displaystyle B}$ классы Понтрягина обозначаются символом ${\displaystyle p_{i}(\xi )\in H^{4i}(B)}$ и полагаются равными

${\displaystyle p_{i}(\xi )=(-1)^{i}c_{2i}(\xi \otimes \mathbb {C} )}$ ,

где ${\displaystyle \xi \otimes \mathbb {C} }$ — комплексификация расслоения ${\displaystyle \xi }$ , a ${\displaystyle c_{i}}$ — классы Черна .

Полным классом Понтрягина называется неоднородный характеристический класс

${\displaystyle p(\xi )=1+p_{1}(\xi )+p_{2}(\xi )+\dots }$ .

Если ${\displaystyle B}$ — гладкое многообразие и расслоение ${\displaystyle \xi }$ явно не указывается, то предполагается что ${\displaystyle \xi }$ есть касательное расслоение ${\displaystyle B}$ .

Свойства

• Через классы Понтрягина выражаются и ${\displaystyle {\hat {A}}}$ -класс.
• Если ${\displaystyle \xi }$ , ${\displaystyle \eta }$ — два вещественных векторных расслоения над общей базой, то класс когомологий
  ${\displaystyle p(\xi \oplus \eta )-p(\xi )p(\eta )}$ имеет порядок не больше двух.
  • В частности, если кольцо коэффициентов содержит 1/2, то выполняется равенство
    ${\displaystyle p(\xi \oplus \eta )=p(\xi )p(\eta )}$ .
• Классы Понтрягина с рациональными коэффициентами двух гомеоморфных многообразий совпадают (теорема С. П. Новикова )
  • Известен пример, показывающий, что целочисленные классы Понтрягина не являются топологическими инвариантами.
• Для 2 k -мерного расслоения ${\displaystyle \xi }$ справедливо равенство
  ${\displaystyle p_{k}(\xi )=e(\xi )^{2},}$
  где ${\displaystyle e(\xi )}$ обозначает .

Литература

• Понтрягин Л. С. «Матем. сб.», 1947, т. 21, с. 233—84;
• Новиков С. П. «Докл. АН СССР», 1965, т. 163, с. 298—300;
• Милнор Дж. , Сташеф Дж. . Характеристические классы = Characteristic classes. — М. : Мир , 1979. — 371 с. — 6500 экз.