Уравнение Колмогорова —Джонсона — Мела — Аврами ( англ. Kolmogorov — Johnson — Mehl — Avrami — equation , JMAK ) описывает процесс фазового перехода при постоянной температуре. Изначально оно было получено для случая кристаллизации расплавов в 1937 году А. Н. Колмогоровым , и независимым образом в 1939 году (англ.) ( и У. Джонсоном , а также было популяризировано в серии статей М. Аврами в 1939—1941 годах. Однако, формула может быть обобщена на случаи других фазовых переходов.

Основные постулаты

• Неограниченность объёма системы, в которой происходит фазовый переход. Физически это значит, что объём системы много больше объёма образующихся зародышей новой фазы.
• Пуассоновский закон зарождения центров: центры новой фазы возникают в среде случайно и равномерно с некоторой интенсивностью ${\displaystyle I(t)}$ на единицу объёма несконденсировавшейся среды в единицу времени, зависящей в общем случае от времени.
• Принцип геометрического подобия: каждый зародыш независимо от места и даты «рождения» растёт в виде кристаллита определенной, единой для всех зародышей выпуклой формы и ориентации, сохраняющихся во времени.
• Единство скорости роста: в каждый момент времени скорости роста одинаковы для всех имеющихся в этот момент зародышей. В силу этой посылки ${\displaystyle {\dot {R}}}$ не зависит от выбранного зародыша и является функцией только текущего времени ${\displaystyle t}$ , то есть ${\displaystyle {\dot {R}}=v(t)}$ .

Формула Колмогорова

Обозначим ${\displaystyle q(t)}$ долю в момент ${\displaystyle t}$ несконденсировавшегося объёма по отношению к общему объёму ${\displaystyle V_{0}}$ . Тогда формула Колмогорова имеет вид

${\displaystyle q(t)=exp\left[-\int _{0}^{t}I(t')V(R(t',t))dt'\right]}$

где ${\displaystyle V(R(t',t))}$ объём изолированного зародыша, зародившегося в момент времени ${\displaystyle t'}$ и в момент времени ${\displaystyle t}$ имеющего радиус ${\displaystyle R}$ . Зная ${\displaystyle q(t)}$ , легко вычислить долю сконденсировшегося объёма ${\displaystyle Q(t)}$

${\displaystyle Q(t)=1-q(t)}$

Ограничения

Формула неприменима, например, для случая диффузионного роста зародышей (см. Спинодальный распад ). В этом случае она даёт только оценку снизу для ${\displaystyle q(t)}$ .

Примечания

1. А. Н. Колмогоров , от 26 октября 2013 на Wayback Machine , Изв. АН СССР Сер. матем., 1 (3), 1937, С. 355—359
2. W. A. Johnson, (англ.) ( , Reaction kinetics in processes of nucleation and growth , Trans. , 135 , 1939, p. 416