Теорема Колмогорова о трёх рядах , названная в честь Андрея Колмогорова , в теории вероятностей задает критерий сходимости с вероятностью единица бесконечного ряда случайных величин через сходимость рядов, связанных с их распределениями вероятностей . Теорема Колмогорова о трёх рядах в сочетании с может быть использована для доказательства усиленного закона больших чисел .

Определения

Пусть ${\displaystyle c}$ — некоторая константа. Тогда

${\displaystyle \xi ^{c}={\begin{cases}\xi ,&|\xi |\leqslant c,\\0,&|\xi |>c.\end{cases}}}$

${\displaystyle I}$ — индикатор на множестве значений случайной величины.

Формулировка теоремы

Пусть ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}...}$ — последовательность независимых случайных величин. Для сходимости с вероятностью единица ряда ${\displaystyle \sum \xi }$ необходимо, чтобы для любого ${\displaystyle c>0}$ сходились ряды

${\displaystyle \sum \mathbb {E} \xi _{n}^{c},}$

${\displaystyle \sum D\xi _{n}^{c},}$

${\displaystyle \sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)}$

и достаточно, чтобы эти ряды сходились при некотором ${\displaystyle c>0}$ .

Доказательство

Достаточность

По теореме о двух рядах ряд ${\displaystyle \sum \xi _{n}^{c}}$ сходится с вероятностью единица. Но если ${\displaystyle \sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty }$ , то по лемме Бореля — Кантелли с вероятностью единица ${\displaystyle \sum I(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty }$ , а значит, ${\displaystyle \xi _{n}=\xi _{n}^{c}}$ для всех ${\displaystyle n}$ , за исключением, быть может, конечного числа. Поэтому ряд ${\displaystyle \sum \xi }$ также сходится.

Необходимость

Если ряд ${\displaystyle \sum \xi _{n}}$ сходится, то ${\displaystyle \xi _{n}\rightarrow 0}$ и, значит, для всякого ${\displaystyle c>0}$ может произойти не более конечного числа событий ${\displaystyle {|\xi _{n}|\geqslant c}}$ . Поэтому ${\displaystyle \sum I(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty }$ и по второй части леммы Бореля — Кантелли ${\displaystyle \sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty }$ . Далее, из сходимости ряда ${\displaystyle \sum \xi _{n}}$ следует и сходимость ряда ${\displaystyle \sum \xi _{n}^{c}}$ . Поэтому по теореме о двух рядах каждый из рядов ${\displaystyle \sum \mathbb {E} \xi _{n}^{c}}$ и ${\displaystyle \sum D\xi _{n}^{c}}$ сходится.

Следствие

Пусть ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}...}$ — независимые случайные величины с ${\displaystyle \mathbb {E} \xi _{n}=0}$ . Тогда, если

${\displaystyle \sum \mathbb {E} {\frac {\xi _{n}^{2}}{1+|\xi _{n}|}}<\infty ,}$

то ряд ${\displaystyle \sum \xi _{n}}$ сходится с вероятностью единица.

Пример

В качестве примера рассмотрим случайный гармонический ряд :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\pm {\frac {1}{n}}}$

где « ${\displaystyle \pm }$ » означает, что знак каждого члена ${\displaystyle 1/n}$ выбран случайно, независимо, и с вероятностями ${\displaystyle 1/2}$ , ${\displaystyle 1/2}$ . Выбрав в качестве ${\displaystyle \xi _{n}}$ ряд, членами которого являются ${\displaystyle 1/n}$ и ${\displaystyle -1/n}$ с равными вероятностями, легко убедиться, что он удовлетворяет условиям теоремы и сходится с вероятностью единица. C другой стороны, аналогичный ряд обратных квадратных корней со случайными знаками:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\pm {\frac {1}{\sqrt {n}}},}$

расходится с вероятностью единица, так как ряд ${\displaystyle \sum D\xi _{n}^{c}}$ расходится.

Литература

• Ширяев А. Н. Вероятность. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М. : МЦНМО , 2004. (Глава 4 § 2 раздел 1)

Ссылки

• (неопр.) . Дата обращения: 22 сентября 2015. Архивировано из 17 апреля 2018 года.