Теорема Пенлеве — утверждение о свойствах решений дифференциальных уравнений первого порядка в комплексной области. Доказана французским математиком Полем Пенлеве в 1887 году

Формулировка

Уравнения первого порядка ${\displaystyle P(w^{'},w,z)=0}$ , алгебраические относительно неизвестной функции и её производной (то есть ${\displaystyle P}$ — многочлен относительно ${\displaystyle w}$ и ${\displaystyle w^{'}}$ и аналитическая функция от ${\displaystyle z}$ ), не могут иметь в интегралах подвижных трансцендентных и существенно особых точек.

Пояснения

Особой точкой называется точка, где нарушается аналитичность функции комплексного переменного . Существенно особой точкой называется особая точка, если есть пути, ведущие к ней, вдоль которых функция не стремится к определённому пределу . Особая точка называется трансцендентной, если область неопределенности состоит из одной точки и существенно особой, если область неопределенности состоит не из одной точки . Особая точка интеграла, положение которой не зависит от начальных данных, определяющих интеграл, называется неподвижной особой точкой и особая точка, положение которой зависит от начальных данных, определяющих интеграл, называется подвижной особой точкой .

Доказательство

Доказательство теоремы Пенлеве занимает три страницы в книге .

См. также

• Уравнение Брио и Буке
• Подвижная особенность

Примечания

Литература

• Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М. — Л. : ГОСТЕХТЕОРИЗДАТ, 1941. — 400 с.
• Лаврентьев М. А. , Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М. : Физматлит, 1958. — 678 с.