Евгений Александрович Болотов ( 1870 , Казань — 28 сентября 1922 , Москва ) — русский учёный- механик , профессор.

Биография

Родился в 1870 году в Казани в семье архитектора Александра Андреевича Болотова. Окончил с золотой медалью Первую казанскую гимназию , а в 1887 году с дипломом первой степени — математическое отделение физико-математического факультета Казанского университета .

В 1896 году стал приват-доцентом Московского университета по кафедре прикладной математики, которую тогда возглавлял Н. Е. Жуковский .

В период с 1900 по 1914 годы преподавал в Императорском Московском техническом училище . В 1907 году Болотова утвердили в степени магистра прикладной математики за работу . Сохранился отзыв Н. Е. Жуковского на эту работу, где отмечалось, что главная заслуга её автора — геометрический анализ, позволивший до конца разъяснить все механические аспекты движения материальной площадки .

В 1909—1910 годах Болотов читал в Московском техническом училище курс теории упругости (его лекции были стенографированы и подготовлены к печати В. П. Ветчинкиным , но так и не были изданы). Им были написаны учебные руководства по курсам математического анализа (изданы в 1912 году) и аналитической геометрии, читавшиеся много лет. Одновременно, он вёл упражнения по курсу теоретической и аналитической механики, читавшемуся Н. Е. Жуковским .

Жуковский высоко оценивал лекторское мастерство Болотова :

… Его (Е. А. Болотова) блестящие лекторские способности с удовольствием вспоминаются его благодарными учениками по техническому училищу. Он умел всегда в самой простой форме указать на суть разбираемой задачи. Его учёные работы «Задача о разложении данного винта», «О движении материальной плоской фигуры со связями с трением», «О теореме Гаусса» отличаются простотой изложения и оригинальностью мысли. Вторая работа была представлена на магистерскую диссертацию в Московском университете и послужила к разъяснению многих парадоксов в вопросе динамики с трением. Наконец, его последнее сочинение о некотором приложении теоремы Гаусса могло быть принято как докторская диссертация…

В 1914 году по рекомендациям профессоров А. П. Котельникова , Д. И. Дубяго , Д. А. Гольдгаммера , Н. Н. Парфентьева Болотов был приглашён в Императорский Казанский университет заведующим кафедрой теоретической и практической механики . С этого времени вплоть до 1921 года он — ординарный профессор Казанского университета.

В 1917 году Е. А. Болотов был утверждён проректором Казанского университета; 19 октября 1918 года избран, а 12 ноября утверждён в должности ректора Казанского университета. Выбыл из состава профессоров 1 января 1919 года, сложив с себя полномочия ректора; однако (после нового избрания Болотова в феврале профессором по кафедре механики) он 22 февраля этого года вновь был избран на должность ректора.

22 января 1921 года вышел в отставку с должности ректора Казанского университета. В том же году (после того, как 17 марта 1921 года умер Н. Е. Жуковский, заведовавший в Московском высшем техническом училище кафедрой теоретической механики) Е. А. Болотова вновь пригласили в МВТУ — возглавить эту кафедру. Болотов согласился и 15 декабря 1921 года был избран профессором по кафедре теоретической механики, но заведовал ей меньше года: 28 сентября 1922 года он скончался. Похоронен на Лазаревском кладбище .

Научная деятельность

Научные исследования Е. А. Болотова посвящены различным разделам теоретической и аналитической механики . Вкладом в теорию винтов стала его первая научная работа — статья 1893 года, в которой он решал задачу о разложении заданного винта на два винта с одинаковыми параметрами. Интерес представляют также работы Е. А. Болотова в области гидромеханики , в которых исследовались движение тяжёлой несжимаемой жидкости и влияние ветра на скорость распространения малых волн по поверхности жидкости .

Важнейшее место в научном наследии Е. А. Болотова занимает его статья «О принципе Гаусса», изданная в 1916 г. в Казани и представляющая собой монографию, посвящённую тщательному логическому анализу наиболее общего из дифференциальных вариационных принципов механики — принципа наименьшего принуждения Гаусса и ряда его обобщений. В этой работе, высоко оценённой Н. Е. Жуковским, Болотов обобщил принцип Гаусса на случай освобождения механической системы от части связей — позднее это направление исследований продолжили другие представители казанской школы механиков: Н. Г. Четаев , М. Ш. Аминов и др.

Как известно , принцип наименьшего принуждения позволяет для каждого момента времени выделять действительное движение среди всех кинематически осуществимых её движений, то есть движений, допускаемых наложенными на систему связями (текущее состояние системы предполагается фиксированным; реализовать такие движения можно, изменив приложенные к системе активные силы . Современная формулировка принципа Гаусса применительно к системе материальных точек такова : В каждый момент времени действительное движение механической системы с идеальными связями выделяется среди всех её кинематически осуществимых движений тем, что для него значение принуждения

${\displaystyle Z\;=\;{\frac {1}{2}}\;{\overset {}{\overset {N}{\underset {\nu =1}{\sum }}}}\,m_{_{\nu }}\left(\mathbf {w} _{_{\nu }}-{\frac {\mathbf {F} _{_{\nu }}}{m_{_{\nu }}}}\right)^{2}}$

минимально. Здесь ${\displaystyle N}$ — число точек, входящих в систему, ${\displaystyle m_{_{\nu }}}$ — масса ${\displaystyle \nu }$ -й точки, ${\displaystyle \mathbf {F} _{_{\nu }}}$ — равнодействующая приложенных к ней активных сил, ${\displaystyle \mathbf {w} _{_{\nu }}}$ — ускорение данной точки в кинематически осуществимом движении системы.

Поскольку в силу II закона Ньютона вектор ${\displaystyle \mathbf {F} _{_{\nu }}\,/\,m_{_{\nu }}=\mathbf {w} _{\nu }^{\circ }}$ есть ускорение ${\displaystyle \nu }$ -й точки освобождённой от всех связей системы, выражению для принуждения ${\displaystyle Z}$ можно придать вид

${\displaystyle (*)\;\;\;\;Z\;=\;{\frac {1}{2}}\;{\overset {}{\overset {N}{\underset {\nu =1}{\sum }}}}\,m_{_{\nu }}\left(\mathbf {w} _{_{\nu }}-\,\mathbf {w} _{\nu }^{\circ }\right)^{2}\,;}$

разность, стоящая в скобках, есть составляющая вектора ускорения ${\displaystyle \nu }$ -й точки, вызванная действием связей. Именно они и принуждают систему со связями отклоняться от движения, свойственного освобождённой системе .

Рассмотрим, следуя Болотову, ряд обобщений принципа Гаусса.

Принцип Гаусса в форме Маха — Болотова

В 1883 г. Э. Мах , рассматривавший (как и сам Гаусс) лишь системы с двусторонними голономными связями , сформулировал (без доказательства) следующее обобщение принципа Гаусса: его утверждение останется справедливым, если применить не полное, а частичное освобождение от связей . Выражение ${\displaystyle (*)}$ для принуждения ${\displaystyle Z}$ при этом остаётся неизменным, но роль векторов ${\displaystyle \mathbf {w} _{_{\nu }}^{\circ }}$ в нём будут играть уже ускорения точек системы в движении, ограниченном меньшим числом связей .

Е. А. Болотов строго доказал указанное обобщение принципа Гаусса, распространив его на случай наличия неголономных связей , линейных по скоростям. При этом он первым указал на необходимость строгого определения понятия возможного перемещения при применении дифференциальных вариационных принципов механики к неголономным системам. Позднее Н. Г. Четаев в 1932—1933 гг. дал для понятия возможного перемещения новое (аксиоматическое) определение и показал, что принцип наименьшего принуждения в форме Маха — Болотова применим и для нелинейных неголономных систем .

Рассмотренное обобщение принципа Гаусса представляет значительный практический интерес. Например, оно используется при компьютерном моделировании динамики систем твёрдых тел , когда при вычислении принуждения (которое минимизируется методами математического программирования ) отбрасывают связи между телами системы, но не связи между точками, входящими в состав каждого из тел. Данное обобщение излагается в ряде учебников теоретической механики .

Принцип Гаусса в форме Больцмана — Болотова

Идею дальнейшего обобщения принципа Гаусса выдвинул в 1897 г. Л. Больцман . Он указал, что при наличии односторонних связей утверждение данного принципа останется справедливым, если применить частичное освобождение от связей, отбрасывая все односторонние связи и произвольное число связей двусторонних ; однако приведённое Больцманом обоснование выдвинутого им положения ясностью не отличалось и вызвало ряд упрёков .

Болотов строго доказал и это обобщение принципа Гаусса (именуемое ныне принципом наименьшего принуждения в форме Больцмана — Болотова ), сделав при этом важное для практического использования принципа замечание.

Чтобы сформулировать его, запишем (предполагая, что ограничения, налагаемые на скорости точек односторонними связями, выполнены в виде равенств; те связи, которые ослаблены по скоростям, вообще никак не ограничивают в текущий момент времени движение точек системы) условия, налагаемые соответственно двусторонними и односторонними связями на ускорения точек:

${\displaystyle a_{s}\;=\;0\,,\;\;s\,=\,1,\,\dots ,\,l\,;\;\;\;\;a_{s}\,\geqslant \;0\,,\;\;s\,=\,l+1,\,\dots ,\,r\,;}$

здесь ${\displaystyle l}$ — число двусторонних, а ${\displaystyle r-l}$ — число односторонних связей; неотрицательные скаляры ${\displaystyle a_{s}}$ , называемые ускорениями ослабления связей , имеют вид:

${\displaystyle a_{s}\;=\;{\overset {}{\overset {N}{\underset {\nu =1}{\sum }}}}\,\,(\mathbf {c} _{s{\nu }}\,,\,\mathbf {w} _{\nu })\,+\,d_{s}\,,}$

где величины ${\displaystyle \mathbf {c} _{s{\nu }}}$ и ${\displaystyle d_{s}}$ зависят от состояния и времени, а при минимизации принуждения являются константами; круглые скобки обозначают скалярное произведение трёхмерных векторов.

Суть упомянутого замечания Болотова состоит в том, что при минимизации принуждения ${\displaystyle Z}$ следует рассматривать среди всех кинематически осуществимых движений лишь те, для которых ускорения ослабления каждой из односторонних связей не меньше ускорений их ослабления в действительном движении .

Порядок применения обобщённого принципа Гаусса к задачам с односторонними связями Болотов иллюстрирует применительно к задаче о движении весомого однородного стержня, у которого конец ${\displaystyle A}$ опирается на гладкую горизонтальную плоскость ${\displaystyle Oxy}$ , а конец ${\displaystyle B}$ может скользить по линии пересечения двух других гладких плоскостей ${\displaystyle Oxz}$ и ${\displaystyle Oyz}$ , перпендикулярных первой плоскости и друг другу. Болотов проводит полный анализ данной задачи и определяет условия, при которых тот или иной конец стержня отрывается от плоскости, на которую он опирался. Данная задача интересна тем, что применительно к ней даёт неверные результаты метод выявления ослабляемой связи, предложенный в 1838 г. М. В. Остроградским в мемуаре «О мгновенных перемещениях систем, подчинённых переменным условиям» ; ошибку в рассуждениях Остроградского нашёл в 1889 г. А. Майер .

В 1990 году получил ещё одну форму принципа Гаусса , в которой (при надлежащих ограничениях на рассматриваемые кинематически осуществимые движения) допускается освобождение системы не от всех (как у Болотова), а лишь от части односторонних связей .

Принцип Гаусса в теории удара

Е. А. Болотов показал, что обобщённый принцип Гаусса применим также и к ряду задач теории удара , но эти его результаты носят менее общий характер, причём он ограничивается лишь случаем абсолютно неупругого удара . Иллюстрирует свой метод Болотов на уже упоминавшейся задаче о весомом однородном стержне (предполагая, что к центру масс стержня прикладывается заданный ударный импульс) .

Публикации

• Болотов Е. А. Задача о разложении данного винта на два винта с равными параметрами // Изв. физ.-мат. общества при Казанском ун-те, Сер. 2. — 1893. — Т. 3 .
• Болотов Е. А. О принципе Гаусса // Изв. физ.-мат. общества при Казанском ун-те. — 1916. — С. 99—152 .

Примечания

Литература

• Курс теоретической механики. 2-е изд. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1974. — 646 с.
• Веретенников В. Г. , Синицын В. А. Теоретическая механика (дополнения к общим разделам). — М. : Физматлит , 2006. — 416 с. — ISBN 5-9221-0703-8 . .
• Теория винтов и её приложения. — М. : Наука , 1978. — 328 с.
• История механики в России / Под ред. А. Н. Боголюбова , И. З. Штокало . — Киев: Наукова думка , 1987. — 392 с.
• Кафедра «Теоретическая механика». Основные этапы развития (1878—2003). — М. : Экслибрис-Пресс, 2003. — 192 с. — ISBN 5-88161-137-3 . .
• Кильчевский Н. А. Курс теоретической механики. Т. II. — М. : Наука, 1977. — 544 с.
• Клоков В. В. Очерк по истории развития механики // . — Казань: Казанский гос. ун-т, 2009. — 132 с. — ISBN 978-598180-721-3 . . — С. 108—122.
• Маркеев А. П. О принципе Гаусса // Сборник научно-методических статей. Теоретическая механика. Вып. 23. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 2000. — 264 с. — С. 29—45.
• Теоретическая механика. Вывод и анализ уравнений движения на ЭВМ / Под ред. В. Г. Веретенникова. — М. : Высшая школа , 1990. — 174 с. — ISBN 5-06-000055-9 . .
• Цыганова Н. Я. . — М. : Наука, 1969. — 88 с.

Ссылки