Интегралы Френеля S ( x ) и C ( x ) — это специальные функции , названные в честь Огюстена Жана Френеля и используемые в оптике . Они возникают при расчёте дифракции Френеля и определяются как

${\displaystyle S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt,\quad C(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt.}$

Параметрический график S ( x ) и C ( x ) даёт кривую на плоскости, называемую спиралью Корню или клотоидой .

Разложение в ряд

Интегралы Френеля могут быть представлены степенными рядами , сходящимися при всех x :

${\displaystyle S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}}={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{11}}{1320}}-\cdots ,}$

${\displaystyle C(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}=x-{\frac {x^{5}}{10}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\cdots .}$

Некоторые авторы используют в качестве аргумента тригонометрических подынтегральных функций ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}t^{2}}$ . Таким образом определенные интегралы Френеля получаются из определённых выше интегралов заменой переменной ${\displaystyle t\to {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}t}$ и умножением интегралов на ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$ .

Спираль Корню

Спираль Корню , также известная как клотоида , — это кривая, являющаяся параметрическим графиком S ( t ) от C ( t ). Спираль Корню была придумана Мари Альфредом Корню для облегчения расчёта дифракции в прикладных задачах.

Так как

${\displaystyle C\,'(t)^{2}+S\,'(t)^{2}=\sin ^{2}(t^{2})+\cos ^{2}(t^{2})=1,}$

то в такой параметризации касательный вектор имеет единичную длину, так что t является длиной кривой, измеряемой от точки (0,0). Следовательно, обе ветви спирали имеют бесконечную длину.

Кривизна этой кривой в любой точке пропорциональна длине дуги, заключённой между этой точкой и началом координат. Благодаря этому свойству она применяется в строительстве дорог, так как угловое ускорение машины, движущейся по этой кривой с постоянной скоростью, будет оставаться постоянным.

Свойства

• ${\displaystyle S(x)}$ и ${\displaystyle C(x)}$ — нечётные функции ${\displaystyle x}$ .

• Асимптотики интегралов Френеля при ${\displaystyle x\to \infty }$ даются формулами

${\displaystyle S(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x)}}{2}}-{\frac {\cos {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]-{\frac {\sin {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]\right),}$

${\displaystyle C(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x)}}{2}}+{\frac {\sin {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]-{\frac {\cos {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]\right).}$

• Используя разложение в ряд, можно построить аналитическое продолжение интегралов Френеля на всю комплексную плоскость. Комплексные интегралы Френеля выражаются через функцию ошибок как

${\displaystyle S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)}$

${\displaystyle C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)}$ .

• Интегралы Френеля не выражаются через элементарные функции , кроме частных случаев. Предел этих функций при ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ равен

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int \limits _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.}$

Вычисление

Пределы функций C и S при ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ могут быть найдены с помощью контурного интегрирования. Для этого берётся контурный интеграл функции

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}$

по границе сектора на комплексной плоскости, образованного осью абсцисс, лучом ${\displaystyle y=x}$ , ${\displaystyle x\geqslant 0}$ и окружностью радиуса R с центром в начале координат.

При ${\displaystyle R\rightarrow \infty }$ интеграл по дуге стремится к 0, интеграл по вещественной оси стремится к значению интеграла Пуассона

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt={\sqrt {\frac {\pi }{2}}},}$

и, после некоторых преобразований, интеграл вдоль оставшегося луча может быть выражен через предельное значение интеграла Френеля.

См. также

• Дифракция Френеля
• Функция Доусона
• Обобщённые интегралы Френеля

Примечания

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. (англ.)

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld . (англ.)
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld . (англ.)
• R. Nave, , Hyperphysics (2002) (Использует πt²/2 вместо t².) (англ.)
• (неопр.) . Дата обращения: 13 августа 2008. 4 марта 2006 года. (англ.) .