Эффект Шубникова — де Хааза ( эффект Шубникова — де Гааза ) назван в честь советского физика Л. В. Шубникова и нидерландского физика В. де Хааза , открывших его в 1930 году . Наблюдаемый эффект заключался в осцилляциях магнетосопротивления плёнок висмута при низких температурах . Позже эффект Шубникова — де Гааза наблюдали в многих других металлах и полупроводниках . Эффект Шубникова — де Гааза используется для определения тензора эффективной массы и формы поверхности Ферми в металлах и полупроводниках.

Термины продольный и поперечный эффекты Шубникова — де Гааза вводят, чтобы различать ориентацию магнитного поля относительно направления течения электрического тока . Особый интерес заслуживает поперечный эффект Шубникова — де Гааза в двумерном электронном газе ( ДЭГ ).

Причина возникновения

Причина возникновения осцилляций проводимости и сопротивления кроется в особенностях энергетического спектра ДЭГ, а именно здесь речь идёт об уровнях Ландау с энергиями

${\displaystyle E_{n}^{LL}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),}$

где ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка, ${\displaystyle \omega _{c}={\frac {eB}{m^{*}c}}}$ — циклотронная частота осциллятора Ландау, ${\displaystyle m^{*}}$ — эффективная масса электрона, ${\displaystyle n=0,1,2...}$ — номер уровня Ландау, ${\displaystyle c}$ — скорость света,.

Плотность состояний ДЭГ ${\displaystyle DOS(\varepsilon )}$ в квантующем магнитном поле для двумерного случая представляет собой набор дельтообразных особенностей

${\displaystyle DOS(\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\delta \left(\varepsilon -\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right)}.}$

Пусть уровень Ферми ${\displaystyle E_{F}}$ зафиксирован, например, уровнем Ферми в контактах. Тогда при возрастании магнитного поля B расстояние между уровнями Ландау начнёт увеличиваться, и они будут пересекать при условии ${\displaystyle E_{F}=E_{n}^{LL}}$ уровень Ферми, и проводимость ДЭГ возрастет. Когда уровень Ферми находится между двумя уровнями Ландау, где нет электронов, дающих вклад в проводимость, наблюдается её минимум. Этот процесс повторяется при увеличении магнитного поля. Осцилляции магнетосопротивления периодичны по обратному магнитному полю и из их периода ${\displaystyle \Delta \left({\frac {1}{B}}\right)}$ определяют концентрацию двумерного электронного газа (ДЭГ)

${\displaystyle n_{2DEG}={\frac {2e}{h}}{\frac {1}{\Delta (1/B)}},}$

где ${\displaystyle e}$ — заряд электрона, ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка.

Осцилляции магнетосопротивления возникают и в другой постановке эксперимента, если зафиксировать магнитное поле и каким-либо образом менять концентрацию ДЭГ, например, в полевом транзисторе изменяя потенциал затвора.

Двумерный случай

Рассмотрим вырожденный двумерный газ (находящийся на плоскости ${\displaystyle xy}$ ) невзаимодействующих (свободных) электронов с эффективной массой ${\displaystyle m^{*}}$ . Сильное магнитное поле ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ направлено перпендикулярно плоскости и выполнено неравенство ${\displaystyle \omega _{c}\tau \gg 1}$ ( ${\displaystyle \omega _{c}=eB/m^{*}c}$ — циклотронная частота ), то есть энергетический спектр квантован. Температуру ${\displaystyle T}$ полагаем достаточно низкой, а уширение уровней Ландау за счет рассеяния электронов меньшим, чем расстояние между уровнями ${\displaystyle \hbar \omega _{c}\gg T,\hbar /\tau }$ , ${\displaystyle \tau }$ — время свободного пробега. В этом случае зависимость компонент тензора электропроводности от магнитного поля имеет вид:

${\displaystyle \sigma _{xx}=\sigma _{yy}={\frac {\sigma _{0}}{1+\left(\omega _{c}\tau \right)^{2}}}\left[1+{\frac {2{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}}{1+{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}}}{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0}}}\right]}$ ,

${\displaystyle \sigma _{xy}=-\sigma _{yx}=-{\frac {\sigma _{0}\omega _{c}\tau }{1+{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}}}\left\{1-{\frac {3{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}+1}{{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}\left[1+{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}\right]}}{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0}}}\right\}}$ ,

где ${\displaystyle \sigma _{0}}$ — электропроводность в отсутствии магнитного поля, определяемая формулой Друде .

Осцилляции электропроводности при изменении поля описывается отношением осциллирующей части плотности состояний ${\displaystyle \Delta \nu }$ к плотности состояний в отсутствие магнитного поля, ${\displaystyle \nu _{0}\gg \Delta \nu }$ :

${\displaystyle {\frac {\Delta \nu }{\nu _{0}}}=2\sum \limits _{s=1}^{\infty }{\exp \left(-{\frac {\pi s}{\omega _{c}\tau }}\right)}{\frac {2{{\pi }^{2}}T/\left(\hbar \omega _{c}\right)}{\sinh \left(2{{\pi }^{2}}T/\left(\hbar \omega _{c}\right)\right)}}\cos \left({\frac {2\pi s{{\varepsilon }_{F}}}{\hbar \omega _{c}}}-\pi s\right)}$ ,

где ${\displaystyle \varepsilon _{F}}$ — энергия Ферми .

Компоненты тензора сопротивления ${\displaystyle {{\rho }_{ik}}}$ , обратного тензору проводимости, ${\displaystyle \sigma _{ik}^{-1}={{\rho }_{ik}}}$ , имеют простой вид :

${\displaystyle {{\rho }_{xx}}={\frac {1}{\sigma _{0}}}\left(1+2{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0}}}\right)}$ ,

${\displaystyle {{\rho }_{xy}}={\frac {\omega _{c}\tau }{\sigma _{0}}}\left(1-{\frac {1}{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}}{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0}}}\right)}$ .

Приведенные формулы справедливы в случае, когда можно пренебречь зеемановским расщеплением квантовых уровней ( ${\displaystyle g_{zz}\mu _{B}B\ll \hbar \omega _{c}}$ , ${\displaystyle \mu _{B}}$ — магнетон Бора , ${\displaystyle g_{zz}}$ — компонента тензора g—фактора электронов) .

Трёхмерный случай

Форма осцилляций слабо зависит от вида рассеивающего потенциала и следующее выражение, учитывающее уширение за счёт столкновений и температуры, а также спиновое расщепление, даёт хорошее приближение для описания поперечного эффекта Шубникова — де Гааза для трёхмерного электронного газа

${\displaystyle \sigma _{xx}=\sigma _{0}\left(1+\sum _{r=1}^{\infty }b_{r}\cos {\left(2\pi \eta r-{\frac {\pi }{4}}\right)}\right)}$

${\displaystyle b_{r}=(-1)^{r}{\frac {5}{2}}{\frac {1}{(2\eta r)^{1/2}}}\cdot {\frac {\frac {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e}}{\hbar \omega _{c}}}{\mathrm {sh} {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e} \over \hbar \omega _{c}}}}\cdot e^{-2\pi ^{2}rk_{B}T_{D} \over \hbar \omega _{c}}\cos {\pi grm^{*} \over 2m_{0}}}$

где ${\displaystyle \eta =E_{F}/\hbar \omega _{c}}$ , ${\displaystyle T_{D}}$ — температура Дингля, определённая по столкновительному уширению ${\displaystyle \Gamma }$ уровня как ${\displaystyle \pi k_{B}T_{D}=\Gamma }$ , ${\displaystyle k_{B}}$ — постоянная Больцмана, ${\displaystyle T_{e}}$ — температура электронного газа, ${\displaystyle g}$ — множитель Ландэ для электрона ( ${\displaystyle g}$ -фактор), ${\displaystyle m_{0}}$ — масса свободного электрона.

Аналогичное выражение для описания продольного эффекта Шубникова — де Гааза для трёхмерного электронного газа (с учётом рассеяния на акустических фононах) запишется в виде

${\displaystyle \sigma _{xx}=\sigma _{0L}\left(1-\sum _{r=1}^{\infty }b_{r}\cos {\left(2\pi \eta r-{\frac {\pi }{4}}\right)}\right)}$

${\displaystyle b_{r}=(-1)^{r}{\frac {1}{(2\eta r)^{1/2}}}\cdot {\frac {\frac {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e}}{\hbar \omega _{c}}}{\mathrm {sh} {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e} \over \hbar \omega _{c}}}}\cdot e^{-2\pi ^{2}rk_{B}T_{D} \over \hbar \omega _{c}}\cos {\pi grm^{*} \over 2m_{0}}}$

где ${\displaystyle \sigma _{0L}={\frac {2e^{2}\hbar \rho v_{s}^{2}}{\pi \Xi ^{2}k_{B}Tm^{*}}}{\frac {E_{F}}{3}}}$ ( ${\displaystyle \Xi }$ — деформационный потенциал , ${\displaystyle v_{s}}$ — скорость звука, ${\displaystyle T}$ — температура).

Произвольный закон дисперсии

При произвольном законе дисперсии электронов проводимости ${\displaystyle \varepsilon \left(\mathbf {p} \right)}$ ( ${\displaystyle \mathbf {p} }$ — квазиимпульс ) амплитуда и период осцилляций электропроводности зависят от геометрии Ферми поверхности ${\displaystyle \varepsilon \left(\mathbf {p} \right)={{\varepsilon }_{F}}}$ ( ${\displaystyle {\varepsilon }_{F}}$ — энергия Ферми ).

В отличие от эффекта де Гааза — ван Альфена , в эффекте Шубникова — де Гааза в осцилляционной зависимости компонент тензора электропроводности ${\displaystyle {{\sigma }_{ik}}}$ ( ${\displaystyle i,k=x,y,z}$ ) от магнитного поля помимо осцилляций плотности состояний (аналогично эффекту де Гааза — ван Альфена) появляются осцилляции, которые связаны с влиянием квантования Ландау на процессы рассеяния . Учёт в интеграле столкновений кинетического уравнения квантования энергетического спектра и влияния электрического поля ${\displaystyle \mathbf {E} }$ на энергию электрона, показало, что вклад процессов рассеяния в амплитуду осцилляций Шубникова — де Гааза поперечных компонент ${\displaystyle \sigma _{xx}}$ , ${\displaystyle \sigma _{yy}}$ ( магнитное поле ${\displaystyle \mathbf {H} }$ направлено вдоль оси ${\displaystyle z}$ ) в скрещенных полях ( ${\displaystyle \mathbf {E} \bot \mathbf {H} }$ ) является определяющим. Относительная осциллирующая добавка к диагональным компонентам тензора проводимости ${\displaystyle \Delta {{\sigma }_{ii}}/{\sigma }_{ii}}$ в квазиклассическом приближении имеет порядок :

${\displaystyle {\frac {\Delta {{\sigma }_{zz}}}{{\sigma }_{zz}}}\sim {\frac {\Delta {{\sigma }_{xx}}}{{\sigma }_{xx}}}\sim {\frac {\Delta {{\sigma }_{yy}}}{{\sigma }_{yy}}}\sim {{\nu }^{-1}}\left({{\varepsilon }_{F}}\right)\sum \limits _{m}{{{\left({\frac {m_{c}{{S}_{m}}}{H}}\right)}^{2}}{\frac {\partial M_{osc}}{\partial H}}}}$ ,

где ${\displaystyle \nu \left({{\varepsilon }_{F}}\right)}$ — плотность состояний при энергии, равной энергии Ферми; ${\displaystyle {{m}_{c}}={\frac {1}{2\pi }}{\frac {\partial {{S}_{m}}}{\partial {{\varepsilon }_{F}}}}}$ — циклотронная масса электрона; ${\displaystyle {S}_{m}(\varepsilon _{F})}$ — площади экстремальных сечений ( ${\displaystyle \partial {{S}_{m}}/\partial {{p}_{H}}=0}$ ) поверхности Ферми плоскостями ${\displaystyle {p_{H}}=const}$ , где ${\displaystyle p_{H}}$ — проекция квазиимпульса электрона на направление магнитного поля; ${\displaystyle M_{osc}}$ — осциллирующая часть магнитного момента электронов. Суммирование по индексу ${\displaystyle m}$ проводится по всем экстремальным сечениям. Согласно теории Лифшица — Косевича

${\displaystyle {{M}_{osc}}\simeq -A_{LK}\sin \left({\frac {c}{e\hbar H}}{{S}_{m}}\mp {\frac {\pi }{4}}-2\pi \gamma \right)\cos \left(\pi {\frac {m_{c}}{{m}_{0}}}\right);}$

где

${\displaystyle A_{LK}={\frac {V}{\pi ^{2}{\sqrt {2\pi }}\hbar ^{3}}}\left({\frac {e\hbar }{c}}\right)^{3/2}{\frac {S_{m}{\sqrt {H}}}{{{\left|{}^{{{\partial }^{2}}{{S}_{m}}}\!\!\diagup \!\!{}_{\partial p_{H}^{2}}\;\right|}^{1/2}}\partial {{S}_{m}}/\partial {{\varepsilon }_{F}}}}\Psi \left({\frac {2\pi ^{2}T}{\hbar \omega _{c}}}\right)}$ .

Формула справедлива при выполнении неравенств:

${\displaystyle T\ll {\frac {\hbar eH}{{{m}_{c}}c}}\ll {{\varepsilon }_{F}};\quad {\frac {e\hbar H}{2{{m}_{0}}c}}\ll {{\varepsilon }_{F}};}$

где ${\displaystyle V}$ — объём металла, ${\displaystyle \Psi \left(z\right)=z/\sinh z}$ , ${\displaystyle T}$ — температура , ${\displaystyle m_{0}}$ — масса свободного электрона , ${\displaystyle {{\omega }_{c}}={\frac {eH}{{{m}_{c}}c}}}$ — циклотронная частота , ${\displaystyle \gamma <1}$ , постоянная Больцмана ${\displaystyle k_{B}=1}$ .

Период осцилляций по обратному магнитному полю равен:

${\displaystyle \Delta \left({\frac {1}{H}}\right)={\frac {2\pi e\hbar }{c{{S}_{m}}}}}$ .

См. также

• Осцилляции Шубникова — де Гааза (графен)
• Эффект де Гааза — ван Альфена

Литература

• Ridley B. K. Квантовые процессы в полупроводниках = Quantum Processes in semiconductors. — 4-е. — Oxford: Clarendon Press, 1999. — 436 с. — ISBN 0-19-850580-9 .

Примечания