Пространственная форма — связное полное риманово многообразие постоянной секционной кривизны ${\displaystyle k}$ .

Пространственная форма называется сферической , евклидовой или гиперболической если соответственно ${\displaystyle k>0}$ , ${\displaystyle k=0}$ , ${\displaystyle k<0}$ .

С помощью перенормировки метрики классификацию пространственных форм можно свести к трём случаям: ${\displaystyle k=-1,0,+1}$ .

Примеры

• Евклидовы пространственные формы:
  • Евклидово пространство .
  • Плоский тор ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma }$ , где ${\displaystyle \Gamma }$ — ${\displaystyle n}$ -мерная решётка в ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ ,.
  • Бутылка Клейна с плоской метрикой.
  • При ${\displaystyle n=3}$ имеется ${\displaystyle 6}$ классов ориентируемых и ${\displaystyle 4}$ класса неориентируемых аффинно не эквивалентных компактных евклидовых пространственных форм
  • Двумерная некомпактная евклидова пространственная форма, отличная от ${\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}$ , гомеоморфна цилиндру , либо листу Мёбиуса .
• Сферические пространственные формы:
  • Сфера ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ в ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n+1}}$ радиуса ${\displaystyle r>0}$ есть сферическая пространственная форма кривизны ${\displaystyle k=1/r^{2}}$ .
  • Линзовое пространство с метрикой постоянной кривизны
  • Сфера Пуанкаре с метрикой постоянной кривизны
  • с метрикой постоянной кривизны
• Гиперболические пространственные формы:
  • Пространство Лобачевского ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ .
  • Двумерную ориентированную компактную гипрболическую пространственную форму рода ${\displaystyle m}$ можно склеить из выпуклого ${\displaystyle 4m}$ - угольника в плоскости Лобачевского с попарно равными сторонами и суммой углов равной ${\displaystyle 2\pi }$ . Семейство неизоморфных компактных гиперболических пространственных форм размерности ${\displaystyle 2}$ рода ${\displaystyle m}$ зависит от ${\displaystyle 6m-6}$ вещественных параметров.
  • Примеры гиперболических пространственных форм приведены в .

Общие свойства

• При произвольном ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle k}$ существует единственная с точностью до изометрии ${\displaystyle n}$ -мерная односвязная пространственная форма ${\displaystyle M_{k}^{n}}$ кривизны ${\displaystyle k}$ . Если ${\displaystyle k>0}$ то это ${\displaystyle n}$ -мерная сфера радиуса ${\displaystyle 1/{\sqrt {k}}}$ , при ${\displaystyle k=0}$ это евклидово пространство и при ${\displaystyle k<0}$ это ${\displaystyle n}$ -мерное пространство Лобачевского .
  • Универсальное накрытие любой ${\displaystyle n}$ -мерной пространственной формы кривизны ${\displaystyle k}$ с поднятой метрикой изометрично ${\displaystyle M_{k}^{n}}$ .
  • Иначе говоря, любая ${\displaystyle n}$ -мерная пространственная форма кривизны ${\displaystyle k}$ может быть получена из ${\displaystyle M_{k}^{n}}$ факторизацией по дискретной группе ${\displaystyle \Gamma }$ движений, действующих свободно (то есть без неподвижных точек); при этом два пространства ${\displaystyle L=M_{k}^{n}/\Gamma }$ и ${\displaystyle L'=M_{k}^{n}/\Gamma '}$ изометричны в том и только в том случае, когда ${\displaystyle \Gamma }$ и ${\displaystyle \Gamma '}$ сопряжены в группе всех движений ${\displaystyle M_{k}^{n}}$ . Тем самым проблема классификации пространственных форм сводится к задаче описания всех несопряженных групп движений пространств ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ , ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ и ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ , действующих дискретно и свободно.

Свойства сферических пространственных форм

Исчерпывающая классификация сферических пространственных форм получена в

• Если ${\displaystyle n}$ чётно, то единственным движением сферы ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ без неподвижных точек является центральная симметрия, переводящая каждую точку сферы в диаметрально противоположную. Факторпространство ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}=\mathbb {S} ^{n}/\Gamma }$ по группе ${\displaystyle \Gamma }$ , порожденное этим движением, есть вещественная проективная плоскость с метрикой постоянной кривизны (также называется или эллиптическое пространство ). В частности
  • Любая сферическая пространственная форма чётной размерности ${\displaystyle n}$ изометрична либо ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ , либо ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$ .
• Любая конечная циклическая группа может служить фундаментальной группой сферической пространственной формы (см. линзовое пространство ).
• Чтобы нециклическая группа порядка ${\displaystyle N}$ могла служить фундаментальной группой ${\displaystyle n}$ -мерной сферической пространственной формы, необходимо (но не достаточно), чтобы ${\displaystyle N}$ было взаимно просто с ${\displaystyle n+1}$ и делилось на квадрат какого-либо целого числа.

Свойства eвклидовых пространственных форм

Фундаментальные группы компактных eвклидовых пространственных форм являются частным случаем кристаллографических групп .

Теорема Бибербаха о кристаллографической группе приводит к структурной теории компактных евклидовых пространственных форм произвольной размерности:

• Для любого ${\displaystyle n\geq 2}$ существует только конечное число разных классов аффинно не эквивалентных компактных евклидовых пространственных форм размерности ${\displaystyle n}$ .
• Две компактные евклидовы пространственные формы ${\displaystyle M=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma }$ и ${\displaystyle M'=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma '}$ аффинно эквивалентны, тогда и только тогда, когда их фундаментальные группы ${\displaystyle \Gamma }$ и ${\displaystyle \Gamma '}$ изоморфны.
  • Например, любая двумерная компактная евклидова пространственная форма гомеоморфна (а следовательно, аффинно эквивалентна) либо плоскому тору , либо плоской бутылке Клейна .
• Абстрактная группа ${\displaystyle \Gamma }$ тогда и только тогда может служить фундаментальной группой компактной eвклидовой пространственной формы ${\displaystyle M^{n}}$ , когда
  1. ${\displaystyle \Gamma }$ имеет нормальную абелеву подгруппу ${\displaystyle \Gamma ^{*}}$ конечного индекса, изоморфную ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ;
  2. ${\displaystyle \Gamma ^{*}}$ совпадает со своим централизатором в ${\displaystyle \Gamma }$ ;
  3. ${\displaystyle \Gamma }$ не имеет элементов конечного порядка .
  • Если такая группа ${\displaystyle \Gamma }$ реализована в виде дискретной подгруппы в группе всех движений пространства ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ , то ${\displaystyle \Gamma ^{*}}$ совпадает с множеством параллельных сдвигов, принадлежащих ${\displaystyle \Gamma }$ , и имеется нормальное накрытие пространства ${\displaystyle M}$ плоским тором ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma ^{*}}$ .
  • Конечная группа ${\displaystyle \Gamma /\Gamma ^{*}}$ изоморфна группе голономии пространства ${\displaystyle M^{n}}$ .
• Компактная евклидова пространственная форма всегда имеет конечную группу голономии .
  • Справедливо и обратное утверждение: компактное риманово пространство, группа голономии которого конечна, является плоским.
• Любая конечная группа изоморфна группе голономии некоторой компактной евклидовой пространственной формы.
• Любая некомпактная евклидова пространственная форма допускает вещественноаналитическую ретракцию на компактное плоское подмногообразие (см. теорема о душе ).
  • В частности класс фундаментальных групп некомпактных eвклидовых пространственных форм совпадает с классом фундаментальных групп компактных евклидовых пространственных форм.

Свойства гиперболических пространственных форм

• Компактные гиперболические пространственные формы размерности ${\displaystyle n\geq 3}$ , имеющие изоморфные фундаментальные группы , изометричны.

История

Исследование двумерных гиперболических пространственных форм по существу началось в 1888, когда Пуанкаре изучая дискретные группы дробно-линейных преобразований комплексной полуплоскости ${\displaystyle Im(z)>0}$ — фуксовы группы , заметил, что их можно трактовать как группы движений плоскости Лобачевского .

Проблема классификации ${\displaystyle n}$ -мерных римановых пространств произвольной постоянной кривизны была сформулирована , который назвал её проблемой пространственных форм Клиффорда — Клейна ; современная формулировка этой проблемы была дана Хопфом (1925).

Вариации и обобщения

Кроме римановых пространственных форм изучались их обобщения: псевдоримановы , и пространственные формы и пространственные формы симметрических пространств .

Литература