Идеал для ${\displaystyle R}$ — подмножество ${\displaystyle I\subset R}$ , замкнутое относительно умножения на элементы из ${\displaystyle R.}$

Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец , но также определяются и для полугрупп , алгебр и некоторых других алгебраических структур . Название «идеал» ведёт своё происхождение от « идеальных чисел », которые были введены в 1847 году немецким математиком Э. Э. Куммером . Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел . Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.

Например, в кольцах вместо простых чисел изучаются простые идеалы , как обобщение взаимно простых чисел вводятся взаимно простые идеалы, можно доказать аналог китайской теоремы об остатках для идеалов.

В некотором важном классе колец (т. н. дедекиндовых ) можно даже получить аналог основной теоремы арифметики : в этих кольцах каждый ненулевой идеал можно единственным образом представить как произведение простых идеалов.

Примером идеала может служить множество целых чисел, которые делятся на 6: ${\displaystyle \{\dots ,-12,-6,0,6,12,18,24\dots \}}$ , если рассматривать их в кольце ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ . Это множество является идеалом потому, что и сумма любых двух таких чисел, и произведение любого из них на любое целое число сами входят в это множество. При этом то же самое множество не будет идеалом в кольце ${\displaystyle \mathbb {R} }$ вещественных чисел, так как результат умножения какого-либо из этих чисел на произвольное вещественное число в общем случае не входит в это множество.

Определение

Для кольца ${\displaystyle R}$ идеалом называется подмножество ${\displaystyle I\subset R}$ , замкнутое относительно умножения на элементы из ${\displaystyle R}$ . Единственный идеал, содержащий ${\displaystyle 1_{R}}$ (следовательно являющийся подкольцом), это само кольцо ${\displaystyle R.}$

Подмножество элементов кольца ${\displaystyle R}$ называется левым идеалом (соответственно правым идеалом ), если оно замкнуто относительно умножения слева (соответственно справа) на элементы из ${\displaystyle R.}$ Подмножество, являющееся одновременно левым и правым, является по определению идеалом , иначе говоря, двусторонним идеалом . В коммутативном случае все эти три понятия совпадают и всегда применяется термин идеал .

Более детально можно записать то же самое формулами. Идеалом кольца ${\displaystyle R}$ называется такое подмножество ${\displaystyle I}$ кольца ${\displaystyle R}$ , что

1. ${\displaystyle \forall i\in I\;\forall r\in R}$ произведение ${\displaystyle ir\in I}$ (условие на правые идеалы);
2. ${\displaystyle \forall i\in I\;\forall r\in R}$ произведение ${\displaystyle ri\in I}$ (условие на левые идеалы).

Аналогично для полугруппы её идеалом называется подполугруппа, для которой верно какое-нибудь из этих условий (или оба для двустороннего идеала), то же самое и для алгебры.

Замечание

Для ${\displaystyle R}$ -алгебры ${\displaystyle A}$ ( алгебры над кольцом ${\displaystyle R}$ ) идеал кольца ${\displaystyle A}$ может, вообще говоря, не быть идеалом алгебры ${\displaystyle A}$ , так как это подкольцо необязательно будет подалгеброй , то есть ещё и подмодулем над ${\displaystyle R}$ . Например, если ${\displaystyle A}$ есть ${\displaystyle k}$ -алгебра с нулевым умножением, то множество всех идеалов кольца ${\displaystyle A}$ совпадает с множеством всех подгрупп аддитивной группы ${\displaystyle A}$ , а множество всех идеалов алгебры ${\displaystyle A}$ совпадает с множеством всех подпространств векторного ${\displaystyle k}$ -пространства ${\displaystyle A}$ . Однако в случае, когда ${\displaystyle A}$ — алгебра с единицей, оба эти понятия совпадают.

Связанные определения

• Для любого кольца ${\displaystyle R}$ само ${\displaystyle R}$ и нулевой идеал ${\displaystyle 0}$ являются идеалами (двусторонними). Такие идеалы называются тривиальными . Собственные идеалы — это идеалы, образующие собственное подмножество , то есть не совпадающие со всем ${\displaystyle R}$ .
• Многие классы колец и алгебр определяются условиями на их идеал или решётку идеалов. Например:
  • Кольцо, не имеющее нетривиальных двусторонних идеалов, называется простым .
  • Кольцо, не имеющее нетривиальных идеалов (не обязательно двусторонних), является телом . См. также: кольцо главных идеалов , артиново кольцо , нётерово кольцо .

• С любым коммутативным кольцом с единицей связано топологическое пространство ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ — спектр кольца , точками которого являются все простые идеалы кольца ${\displaystyle A}$ , отличные от ${\displaystyle A}$ , а замкнутые множества определяются как множества простых идеалов, содержащих какое-то множество ${\displaystyle E}$ элементов кольца ${\displaystyle A}$ (или, что то же, идеал ${\displaystyle I}$ , порождённый этим множеством). Эта топология называется топологией Зарисского .

• Понятие идеала тесно связано с понятием модуля . Идеал (правый или левый) можно определять как подмодуль кольца, рассмотренного как правый или левый модуль над собой.

Свойства

• Левые идеалы в R являются правыми идеалами в т. н. противоположном кольце ${\displaystyle R^{0}}$ — кольце с теми же элементами и тем же сложением, что и данное, но с умножением определённым ${\displaystyle a*b=b*a}$ , и наоборот.
• Двусторонние идеалы в кольцах и алгебрах играют ту же роль, что и нормальные подгруппы в группах :
  • Для всякого гомоморфизма ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ядром ${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$ является идеал, и обратно, всякий идеал — ядро некоторого гомоморфизма.
  • Более того, идеал однозначно (с точностью до изоморфизма ) определяет образ гомоморфизма, ядром которого он является: ${\displaystyle f(A)}$ изоморфен факторкольцу ( факторалгебре ) ${\displaystyle A/I}$ .
• В кольце ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ целых чисел все идеалы главные и имеют вид ${\displaystyle n\mathbb {Z} =\{nz\mid z\in \mathbb {Z} \}}$ , где ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}.}$
• Пересечение идеалов также является идеалом (часто, особенно в коммутативной алгебре, пересечение называется наименьшим общим кратным ).

Типы идеалов

• Главный идеал — идеал, порожденный одним элементом.
• Конечнопорождённый идеал
• Максимальный идеал : Собственный идеал I называется максимальным , если не существует собственный идеал J такой, что I — собственное подмножество J . Факторкольцо по максимальному идеалу является полем .
• Модулярный идеал
• Нильпотентный идеал
• Примарный идеал
• Простой идеал
• Радикальный идеал — идеал, совпадающий со своим радикалом .

Основные конструкции

• Главные идеалы . Если p принадлежит R , a k — любое целое число, то ${\displaystyle \{pr+kp:\,r\in R\ ,k\in \mathbb {Z} \}}$ — будет минимальным правым идеалом, содержащим p , а ${\displaystyle \{rp+kp:\,r\in R\ ,k\in \mathbb {Z} \}}$ — минимальным левым идеалом в R . Они называются, соответственно, главными правым и левым идеалом, порожденными p . В коммутативном случае эти идеалы совпадают и обозначаются также (p) . Если кольцо R содержит единичный элемент, то так как ${\displaystyle kp=(k*1)p=p(k*1)}$ , главные идеалы, порождённые p, можно записать ${\displaystyle pR=\{pr:\,r\in R\}}$ и ${\displaystyle Rp=\{rp:\,r\in R\}}$ соответственно. Всякий идеал, содержащий элемент p , содержит и главный идеал, им порождённый.

• Идеал, порождённый множеством элементов. Пересечение произвольного семейства левых идеалов кольца R — левый идеал кольца R . Поэтому для всякого подмножества M кольца R существует минимальный левый идеал, его содержащий, а именно — пересечение всех левых идеалов, содержащих множество M . (То же верно для правых и двусторонних идеалов.) Для кольца R с единичным элементом минимальный левый идеал представляет собой множество конечных сумм вида ${\displaystyle r_{1}m_{1}+\ldots +r_{n}m_{n}}$ , минимальный правый идеал — множество конечных сумм вида ${\displaystyle m_{1}r_{1}+\ldots +m_{n}r_{n}}$ , минимальный двусторонний идеал — множество конечных сумм вида ${\displaystyle r_{1}m_{1}r'_{1}+\ldots +r_{n}m_{n}r'_{n}}$ , где m _i — произвольные элементы множества M , а r _i ,r' _i — произвольные элементы кольца R . Если кольцо не содержит единицы, то минимальный левый идеал будет иметь вид ${\displaystyle r_{1}m_{1}+\ldots +r_{n}m_{n}+k_{1}m'_{1}+\ldots +k_{s}m'_{s}}$ , минимальный правый ${\displaystyle m_{1}r_{1}+\ldots +m_{n}r_{n}+k_{1}m'_{1}+k_{2}m'_{2}+\ldots +k_{s}m'_{s}}$ , минимальный двусторонний ${\displaystyle r_{1}m_{1}r'_{1}+\ldots +r_{n}m_{n}r'_{n}+k_{1}r''_{1}m'_{1}+\ldots +k_{s}r''_{s}m'_{s}+k'_{1}m''_{1}r'''_{1}+\ldots +k'_{t}m''_{t}r'''_{t}+k''_{1}m'''_{1}+\ldots +k''_{w}m''''_{w}}$ , где все ${\displaystyle k_{i}(k'_{i})}$ — любые целые числа. Эти идеалы называются порождёнными множеством M . В коммутативном случае все они совпадают и обозначаются так: (M) . Идеалы, порождённые конечным множеством, называются конечнопорождёнными .

• Сумма идеалов. Если в кольце R задано произвольное семейство идеалов ${\displaystyle I_{\alpha }}$ , их суммой ${\displaystyle \sum I_{\alpha }}$ называется минимальный идеал, который их всех содержит. Он порождён объединением этих идеалов, и его элементами являются любые конечные суммы элементов из их объединения (само объединение идеалов обычно идеалом не является). Относительно суммы все (левые, правые или двусторонние) идеалы кольца (или алгебры) образуют решётку . Каждый идеал является суммой главных идеалов. Часто, особенно в коммутативной алгебре, сумма называется наибольшим общим делителем).

• Пересечение идеалов (как пересечение множеств ) всегда является идеалом. С другой стороны, объединение двух идеалов является идеалом только тогда, когда один из них — подмножество другого. Действительно, пусть ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ — два (левых) идеала, ни один из которых не является подмножеством другого, и ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cup {\mathfrak {b}}}$ является левым идеалом. В этом случае, очевидно, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cup {\mathfrak {b}}}$ — наименьший идеал, содержащий ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ , то есть ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cup {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$ . Существует элемент ${\displaystyle a\in {\mathfrak {a}},a\notin {\mathfrak {b}}}$ . Тогда для любого ${\displaystyle b\in {\mathfrak {b}}\;a+b\notin {\mathfrak {b}}}$ , так как в этом случае ${\displaystyle a\in {\mathfrak {b}}}$ , следовательно, ${\displaystyle a+b\in {\mathfrak {a}}}$ и ${\displaystyle b\in {\mathfrak {a}}}$ , поэтому ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {a}}}$ — противоречие.

• Произведение идеалов. Произведением идеалов I и J называется идеал IJ , порождённый всеми произведениями ab , где a — элемент идеала I , b — элемент идеала J . Бесконечное произведение идеалов не определено.

• Частное идеалов. В коммутативном кольце для идеала I , отличного от нуля, и идеала J определено их частное — идеал ${\displaystyle I^{-1}J=\{x\in R\colon \,\forall i\in I\,ix\in J\}}$ . Этот идеал называется аннулятором идеала I в случае, когда J=(0) , .

• Радикал идеала I — это множество ${\displaystyle {\sqrt {I}}=\{f\in A:\,\exists n\in \mathbb {N} \,\,f^{n}\in {I}\}}$ . Оно тоже является идеалом кольца A , если только кольцо A коммутативно. В случае, когда I=(0) , этот идеал называется нильрадикалом кольца A . Его элементами являются все нильпотентные элементы кольца. Если коммутативное кольцо не имеет нильпотентных элементов, кроме нуля (имеет нулевой нильрадикал), — оно называется радикальным . Идеал I называется радикальным, если он совпадает со своим радикалом. В этом случае факторкольцо R/I не имеет нильпотентных элементов, кроме нуля.

• Индуктивный предел . Если задано семейство (цепочка) идеалов ${\displaystyle \{I_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ , занумерованное линейно упорядоченным множеством A , так, что для любых индексов ${\displaystyle \alpha <\beta }$ из A идеал ${\displaystyle I_{\alpha }}$ содержится в идеале ${\displaystyle I_{\beta }}$ , тогда их объединение является идеалом — индуктивным пределом данной цепочки идеалов. Этот идеал также совпадает с суммой всех идеалов из цепочки. Тот факт, что индуктивный предел всегда существует, означает, что множество всех идеалов кольца R индуктивно упорядочено, и к нему применима лемма Цорна . Она часто используется для построения максимальных идеалов с какими-то дополнительными свойствами (см. максимальный идеал , простой идеал , кольцо главных идеалов ).

• Образ идеала при гомоморфизме. Обычно образ идеала при гомоморфизме НЕ является идеалом, однако если гомоморфизм сюръективен, то тогда является. В частности, так как гомоморфизм факторизации всегда сюръективен, при факторизации каждый идеал переходит в идеал.

• Прообраз идеала при гомоморфизме . Если ${\displaystyle f:\,A\to B}$ — гомоморфизм колец, его ядро ${\displaystyle \operatorname {Ker} f=\{a\in A:\,f(a)=0\}}$ является двусторонним идеалом. Более общо, если I — произвольный идеал в кольце B , его полный прообраз ${\displaystyle f^{-1}I=\{a\in A:\,f(a)\in I\}}$ является идеалом (левым, правым или двусторонним, в зависимости от того, каков идеал I ).

• Гомоморфизм факторизации по идеалу. Если I — двусторонний идеал в кольце R , по нему можно определить отношение эквивалентности на R по правилу: x ~ y тогда и только тогда, когда разность x-y принадлежит I . Проверяется, что если в сумме или произведении один из операндов заменить на эквивалентный, новый результат будет эквивалентен исходному. Таким образом операции сложения и умножения становятся определёнными на множестве R/I классов эквивалентности, превращая его в кольцо (коммутативность и наличие единицы переносятся с кольца R , если они есть). Одновременно с этим кольцом определён гомоморфизм факторизации (канонический гомоморфизм) ${\displaystyle \pi :\,R\to R/I}$ , который каждому элементу a из R ставит в соответствие класс эквивалентности, в котором он содержится. Класс эквивалентности элемента a есть множество элементов вида a+i по всем i из идеала I , поэтому он обозначается a + I , но иногда используется и общее обозначение для класса эквивалентности [a] . Поэтому ${\displaystyle \pi (a)=[a]=a+I}$ . Кольцо R/I при этом называется факторкольцом кольца R по идеалу I .

История

Идеалы были впервые введены Дедекиндом в 1876 году в третьем издании его книги «Лекции по теории чисел». Это было обобщением концепции идеальных чисел , введённых Куммером .

В дальнейшем эти идеи разрабатывались Гильбертом и особенно Нётер .

Ссылки

• Винберг Э. Б. Курс алгебры, — М. : Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7 .
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, Т. 1—2, — М. : ИЛ, 1963.
• Ленг С. Алгебра, — М. : Мир, 1968.

Примечания