Interested Article - Смешанный объём

Смешанный объём — числовая характеристика набора из выпуклых тел в -мерном евклидовом пространстве.

Смешанный объём набора обычно обозначается

.

Определение

Пусть набор из выпуклых тел в и положительные вещественные числа. Обозначим через объём тела

где « » обозначает сумму Минковского и

Функция является однородным многочленом степени . Коэффициент этого многочлена при по определению равен .

Заметим, что

Свойства

  • Для произвольных неотрицательных чисел ,
  • Смешанный объём инвариантен относительно параллельных переносов тел в наборе.
  • Смешанный объём монотонен по включению тел.
  • Смешанный объём непрерывен относительно метрики Хаусдорфа .
  • Смешанный объём неотрицателен.
    • Более того, тогда и только тогда, когда в каждом можно провести по отрезку так, чтобы эти отрезки были линейно независимы.
  • Для неотрицательного целого смешанный объём копий выпуклого тела в и копий единичного шара выражается через -тую . В частности
    • Смешанный объём набора из копий равен обычному объёму .
    • Смешанный объём набора из копий и единичного шара равен площади поверхности .
  • Типичное число решений системы полиномиальных уравнений равно смешанному объёму многогранников Ньютона .
  • неравенство Минковского
  • неравенство Александрова Фенхеля

См. также

Литература

Источник —

Same as Смешанный объём