« Выпуклые многогранники » — монография Александра Даниловича Александрова . Оригинальное русское издание вышло в 1950 году; немецкий перевод в 1958 году. Расширенное издание на английском языке с дополнительными материалами Виктора Абрамовича Залгаллера , Л. А. Шора и Юрия Александровича Волкова вышло в 2005 году.

Содержание

Изначальное издание включает 11 глав. Основное внимание в книге уделяется определению геометрических данных, которые однозначно определяют трёхмерный выпуклый многогранник, с точностью до некоторого класса геометрических преобразований, таких как конгруэнтность или подобие. Рассматриваются как ограниченные многогранники ( выпуклые оболочки конечных множеств) так и неограниченные (пересечения конечного числа полупространств ).

В первой главе рассматриваются основные топологические свойства многогранников, включая их топологическую эквивалентность сферам, формулу Эйлера и лемму Коши . В главах 3 и 4 доказывается теорема единственности Александрова , характеризующая геометрию поверхности многогранников как в метрические пространства гомеоморфные сфере и локально изометричное евклидовой плоскости ^{[ прояснить ]} , за исключением конечного набора точек с суммарным углом ${\displaystyle 2{\cdot }\pi }$ в каждой. В главе 5 рассматриваются обобщения этой теоремы на случай дисков, и исследуются возникающие в результате изгибаемые многогранные поверхности .

Главы с 6 по 8 книги связаны с теоремой Минковского о том, что выпуклый многогранник однозначно определяется площадями и направлениями его граней, с новым доказательством, основанным на теореме об инвариантности области . Глава 9 посвящена реконструкции трёхмерных многогранников, путем ограничения того, чтобы вершины многогранника лежали на лучах, проходящих через точку обзора. Главы 10 и 11 относятся к теореме Коши о том, что многогранники с плоскими гранями образуют жесткие структуры, и описывающими различия между жесткостью и бесконечно малой жесткостью многогранников, разработанной Максом Дэном .

Английское издание включает дополнительные комментарии и библиографию, касающуюся задач, которые были решены после выхода оригинального издания 1950 года. Оно также включает в главу с дополнительными материалами: переводы трёх статей Волкова и Шора, включая упрощенное доказательство теоремы Погорелова, обобщающее теорему единственности Александрова на выпуклые поверхности.