Матрица сопротивлений — матрица, применяемая для описания устройств СВЧ , связывающая линейной зависимостью комплексные амплитуды напряжений и силы тока в клеммных плоскостях эквивалентного многополюсника:

${\displaystyle Z={\begin{pmatrix}z_{11},&z_{12},&\cdots &z_{1N}\\z_{21},&z_{22},&\cdots &z_{2N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\z_{N1},&z_{N2},&\cdots &z_{NN}\\\end{pmatrix}}}$

Устройство СВЧ как многополюсник

Описание устройства СВЧ может производиться без учёта его внутренней структуры и геометрии. Для инженерного расчёта любое линейное пассивное устройство может быть представлено в виде «чёрного ящика» — многополюсника , каждая пара клемм которого представляет определённый тип волн во всех линиях передачи, подключённых к этому устройству. На каждом входе эквивалентного многополюсника можно определить комплексные амплитуды напряжения и силы тока. Чаще всего ток и напряжение определяют через поперечные составляющие электрического и магнитного поля волны, распространяющейся в линии:

${\displaystyle \;E_{n}=u_{n}e_{n}}$

${\displaystyle \;H_{n}=i_{n}h_{n}}$

Здесь ${\displaystyle \;e_{n}}$ и ${\displaystyle \;h_{n}}$ — собственные функции поперечных составляющих основных волн в n -входной линии. Напряжения ${\displaystyle \;u_{n}}$ и токи ${\displaystyle \;i_{n}}$ входят в нормированной форме:

${\displaystyle u_{n}=U_{n}/{\sqrt {W_{n}}}}$ [Вт ^½ ]

${\displaystyle i_{n}=I_{n}{\sqrt {W_{n}}}}$ [Вт ^½ ]

${\displaystyle \;W_{n}}$ — характеристическое сопротивление основной волны в линии. Напряжение и ток в линии могут быть выражены через падающую и отражённую волны:

${\displaystyle \;u_{n}=a_{n}+b_{n}}$

${\displaystyle \;i_{n}=a_{n}-b_{n}}$

Падающая и отражённая волны также входят в нормированной форме и измеряются в Вт ^½ .

${\displaystyle \;a_{n}={\sqrt {P_{n\;in}}}e^{i\varphi _{n\;in}}}$

${\displaystyle \;b_{n}={\sqrt {P_{n\;out}}}e^{i\varphi _{n\;out}}}$

Матричное уравнение

Представив множества токов и напряжений на всех входах многополюсника в виде векторов, можно записать матричное уравнение связи напряжений и токов:

${\displaystyle u={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}};\;i={\begin{pmatrix}i_{1}\\i_{2}\\\vdots \\i_{n}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \;u=Zi}$

В алгебраической форме запись приобретёт вид

${\displaystyle {\begin{cases}u_{1}=z_{11}i_{1}+z_{12}i_{2}+\ldots +z_{1N}i_{N}\\u_{2}=z_{21}i_{1}+z_{22}i_{2}+\ldots +z_{2N}i_{N}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\u_{N}=z_{N1}i_{1}+z_{N2}i_{2}+\ldots +z_{NN}i_{N}\end{cases}}}$

Физический смысл

Чтобы выяснить физический смысл элементов матрицы сопротивлений, необходимо организовать специальный тестовый режим измерения токов и напряжений многополюсника, называемый режимом холостого хода (Х.Х.).

Смысл диагональных элементов ( z _nn ) матрицы сопротивлений станет ясен, если создать электрический ток i _n ≠ 0 (подключить источник тока к n -му входу многополюсника) и создать режим Х.Х. на всех прочих входах (то есть разомкнуть все прочие k = 1... N , k ≠ n входы многополюсника). В этом случае сила тока i _k на k -х (разомкнутых) входах будет равна нулю, а напряжение и сила тока для n -го входа будут связаны законом Ома : u _n = z _nn i _n . Из выражения видно, что каждый n -й диагональный элемент матрицы рассеяния имеет тот же смысл, что и электрическое сопротивление n -го входа при условии одновременного Х.Х. на всех прочих входах.

В рассмотренном тестовом режиме напряжения на всех ( n -м и k -х) входах не будут равны нулю, они будут пропорциональны силе тока i _n , создаваемого подключённым к n -му входу источником: u _k = z _kn i _n , k = 1, ... , n , ... , N . Из этого выражения видно, что все элементы матрицы рассеяния служат коэффициентами пропорциональности между силой тока i _n в n -м входе и напряжением u _k на k -м входе и имеют размерность электрического сопротивления (Ом). Диагональные элементы называют собственными сопротивлениями входов, внедиагональные — вносимыми сопротивлениями (вносимыми в k -й вход из n -го входа, первый индекс — "куда", второй — "откуда"). Эти названия подчёркивают тот факт, что в общем случае, при протекании тока по всем N входам многополюсника, напряжение u _n на каждом n -м входе зависит не только от силы тока i _n в этом входе ( u _n пропорционально i _n , коэффициент пропорциональности — собственное сопротивление z _nn ), но и от силы тока i _k во всех прочих входах ( u _n пропорционально также и i _k , коэффициент пропорциональности — вносимое сопротивление z _nk ). То есть напряжение на каждом входе не только зависит от "собственного" источника тока, но и "вносится" (наводится, получает добавку, зависит, изменяется) за счет протекания тока во всех прочих входах в силу наличия электрических межсоединений во внутренней электрической схеме многополюсника.

Таким образом, в целом матрица сопротивлений и матричное уравнение, связывающее напряжения и токи на входах многополюсника, являются обобщением закона Ома для участка цепи (то есть для двухполюсника) на случай многополюсника.

См. также

• Матрица рассеяния

Литература

• Сазонов Д. М. . — М. : Высш. шк, 1988. — P. 432. — ISBN 5-06-001149-6 .