Interested Article - Теорема Вигнера

Теорема Вигнера — теорема квантовой механики. Играет важную роль в математических основах квантовой механики . Она определяет, как физические симметрии (вращение , перемещение в пространстве, CPT-преобразование ) представлены математически в гильбертовом пространстве состояний . Названа в честь Юджина Вигнера , доказавшего её в 1931 г.

Пространство лучей

Проективное гильбертово пространство $\mathbb {P} H$ комплексного гильбертова пространства $H$ — это множество классов эквивалентности ненулевых векторов $\Psi \in H$ , для отношения эквивалентности $\sim$ на $H$ , заданного следующим образом:

\Psi \sim \Phi

тогда и только тогда, когда

\Psi =\lambda \Phi

для некоторого ненулевого комплексного числа

\lambda

.

Классы эквивалентности ${\underline {\Psi }}$ также называются лучами или проективными лучами .

Формулировка

Предварительные сведения

Преобразование унитарно, если оно биективно и

\langle U\Psi ,U\Phi \rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle .

Преобразование антиунитарно, если

\langle A\Psi ,A\Phi \rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle ^{*}=\langle \Phi ,\Psi \rangle .

Пусть есть унитарное преобразование $U:H\to K$ гильбертовых пространств.

Определим

{\begin{aligned}T_{U}:\mathbb {P} H&\to \mathbb {P} K\\{\underline {\Psi }}&\mapsto {\underline {U\Psi }},\\\end{aligned}}

которое является преобразованием симметрии, поскольку

T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\frac {\left|\langle U\Psi ,U\Phi \rangle \right|}{\|U\Psi \|\|U\Phi \|}}={\frac {\left|\langle \Psi ,\Phi \rangle \right|}{\|\Psi \|\|\Phi \|}}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}.

Таким же образом антиунитарные преобразования

A

симметрии гильбертова пространства индуцируют преобразование симметрии пространства лучей.

Утверждение теоремы

Теорема Вигнера утверждает, что верно и обратное: Если $H$ и $K$ — гильбертовы пространства, и $T:\mathbb {P} H\to \mathbb {P} K$ — преобразование симметрии, тогда существует унитарное или антиунитарное преобразование $V:H\to K$ , которое индуцирует $T$ .

Доказательство см.

В некоторых источниках , теорема Вигнера относится к собственным состояниям симметричной квантово-механической системы, и говорит о том, что если гамильтониан инвариантен относительно преобразований какой-то группы, то его собственные функции образуют базис неприводимых представлений этой группы, а кратность вырождения уровня равна размерности представления.

Примечания

, с. 265—268.
↑ , с. 276—280.
, p. 49
↑ Bargmann V. от 2 июня 2021 на Wayback Machine // Journal of Mathematical Physics 5, 862 (1964);
, с. 104.
Петрашень М. И., Трифонов Е. Д. "Применение теории групп в квантовой механике", 1967, Наука

Литература

Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров. — М. : ИЛ , 1961. — 443 с.
Боголюбов Н. Н. , Логунов А. А. , Тодоров, И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — М. : Наука , 1969. — 424 с.
Weinberg, S. (2002), , vol. 1, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55001-7 – via Internet Archive