Interested Article - Крамер, Габриэль

Габриэ́ль Кра́мер ( нем. Gabriel Cramer , 31 июля 1704 , Женева , Швейцария — 4 января 1752 , Баньоль-сюр-Сез, Франция ) — швейцарский математик , ученик и друг Иоганна Бернулли , один из создателей линейной алгебры .

Биография

Крамер родился в семье франкоязычного врача. С раннего возраста показал большие способности в области математики. В 18 лет защитил диссертацию. В 20-летнем возрасте Крамер выставил свою кандидатуру на вакантную должность преподавателя на кафедре философии Женевского университета . Кандидатур было три, все произвели хорошее впечатление, и магистрат принял соломоново решение: учредить отдельную кафедру математики и направить туда (на одну ставку) двух «лишних», включая Крамера, с правом путешествовать по очереди за свой счёт.

1727 : Крамер воспользовался этим правом и 2 года путешествовал по Европе, заодно перенимая опыт у ведущих математиков — Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле , Галлея и де Муавра в Лондоне , Мопертюи и Клеро в Париже и других. По возвращении он вступает с ними в переписку, продолжавшуюся всю его недолгую жизнь.

1728 : Крамер находит решение Санкт-Петербургского парадокса , близкое к тому, которое 10 годами спустя публикует Даниил Бернулли .

1729 : Крамер возвращается в Женеву и возобновляет преподавательскую работу. Он участвует в конкурсе, объявленном Парижской Академией , задание в котором: есть ли связь между эллипсоидной формой большинства планет и смещением их афелиев ? Работа Крамера занимает второе место (первый приз получил Иоганн Бернулли ).

В свободное от преподавания время Крамер пишет многочисленные статьи на самые разные темы: геометрия , история математики , философия , приложения теории вероятностей . Крамер также публикует труд по небесной механике ( 1730 ) и комментарий к ньютоновской классификации кривых третьего порядка ( 1746 ).

Около 1740 года Иоганн Бернулли поручает Крамеру хлопоты по изданию сборника собрания своих трудов. В 1742 году Крамер публикует сборник в 4 томах, а вскоре ( 1744 ) выпускает аналогичный (посмертный) сборник работ Якоба Бернулли и двухтомник переписки Лейбница с Иоганном Бернулли. Все эти издания имели огромный резонанс в научном мире.

1747 : второе путешествие в Париж, знакомство с Даламбером .

1751 : Крамер получает серьёзную травму после дорожного инцидента с каретой. Доктор рекомендует ему отдохнуть на французском курорте, но там его состояние ухудшается, и 4 января 1752 года Крамер умирает.

«Введение в анализ алгебраических кривых»

Титульный лист «Введения в анализ алгебраических кривых»

Самая известная из работ Крамера — изданный незадолго до кончины трактат «Введение в анализ алгебраических кривых », опубликованный на французском языке (« Introduction à l’analyse des lignes courbes algébraique », 1750 год ). В нём впервые доказывается, что алгебраическая кривая n -го порядка в общем случае полностью определена, если заданы её n(n + 3) /2 точек. Для доказательства Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем: метод Крамера .

Крамер рассмотрел систему произвольного количества линейных уравнений с квадратной матрицей . Решение системы он представил в виде столбца дробей с общим знаменателем — определителем матрицы. Термина « определитель » (детерминант) тогда ещё не существовало (его ввёл Гаусс в 1801 году ), но Крамер дал точный алгоритм его вычисления: алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы, по одному из каждой строки и каждого столбца. Знак слагаемого в этой сумме, по Крамеру, зависит от числа инверсий соответствующей подстановки индексов: плюс, если чётное. Что касается числителей в столбце решений, то они подсчитываются аналогично: n -й числитель есть определитель матрицы, полученной заменой n -го столбца исходной матрицы на столбец свободных членов.

Методы Крамера сразу же получили дальнейшее развитие в трудах Безу , Вандермонда и Кэли , которые и завершили создание основ линейной алгебры . Теория определителей быстро нашла множество приложений в астрономии и механике (вековое уравнение), при решении алгебраических систем, исследовании форм и т. д.

Крамер провёл классификацию алгебраических кривых до пятого порядка включительно. Любопытно, что во всём своём содержательном исследовании кривых Крамер нигде не использует математический анализ , хотя он, бесспорно, владел этими методами.