Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

Для того чтобы линейная система являлась совместной , необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы . Была доказана независимо друг от друга Леопо́льдом Кро́некером и Альфре́до Капе́лли .

Название теоремы

В России это теорема Кронекера — Капелли, в Италии и англоязычных странах — теорема Руше — Капелли, в Испании и странах Латинской Америки — теорема Руше — Фробениуса .

Пояснения

Система уравнений ${\displaystyle Ax=B}$ разрешима тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \operatorname {rang} A=\operatorname {rang} (A|B)}$ , где ${\displaystyle (A|B)}$ — расширенная матрица, полученная из матрицы ${\displaystyle A}$ приписыванием столбца ${\displaystyle B}$ .

Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$ такие, что ${\displaystyle b=x_{1}a_{1}+\dots +x_{n}a_{n}}$ . Следовательно, столбец ${\displaystyle b}$ является линейной комбинацией столбцов ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ матрицы ${\displaystyle A}$ . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы её строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что ${\displaystyle \operatorname {rang} A=\operatorname {rang} A|B}$ .

Достаточность

Пусть ${\displaystyle \operatorname {rang} A=\operatorname {rang} A|B=r}$ . Возьмём в матрице ${\displaystyle A}$ какой-нибудь базисный минор. Так как ${\displaystyle \operatorname {rang} A|B=r}$ , то он же будет базисным минором и матрицы ${\displaystyle A|B}$ . Тогда, согласно теореме о базисном миноре , последний столбец матрицы ${\displaystyle A|B}$ будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы ${\displaystyle A}$ . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы ${\displaystyle A}$ .

Следствия

• Количество главных переменных системы равно рангу системы.
• Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

См. также

• Матрица (математика)
• Кро́некер, Леопо́льд
• Капе́лли, Альфре́до

Примечания

Литература

• В. А. Ильин, Г. Д. Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007, 400с.
• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М. : Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3 .