Ско́бки Лагра́нжа — бинарная операция в гамильтоновой механике, тесно связанная с другой бинарной операцией, скобками Пуассона . Скобки Лагранжа были введены Лагранжем в 1808—1810 для математических выражений в классической механике . В отличие от скобок Пуассона, в настоящее время скобки Лагранжа практически не используются.

Определение

Пусть ( q ₁ , …, q _n , p ₁ , …, p _n ) — система канонических координат в фазовом пространстве . Если каждую из них выразить как функцию двух переменных, u и v , то скобки Лагранжа от u и v определяются формулой

${\displaystyle [u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right).}$

Следует отметить, что эта формула совпадает с определением скобок Пуассона с точностью до перестановки числителей и знаменателей в операторах частных производных.

Свойства

• Скобки Лагранжа (как и скобки Пуассона) антикоммутативны , что очевидно непосредственно из определения:

${\displaystyle [u,v]_{q,p}=-[v,u]_{q,p}.}$

• Скобки Лагранжа не зависят от системы канонических координат ( q , p ) . Если ( Q , P ) = ( Q ₁ , …, Q _n , P ₁ , …, P _n ) является другой системой канонических координат, то

${\displaystyle Q=Q(q,p),P=P(q,p)}$

является каноническим преобразованием , так что скобки Лагранжа являются инвариантом преобразования, в том смысле, что

${\displaystyle [u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}.}$

Вследствие этого индексы, показывающие канонические координаты, часто опускаются.

• Если Ω является симплектическим пространством в 2 n -мерном фазовом пространстве W и u ₁ , …, u _{2 n} образует систему координат в W , то канонические координаты ( q , p ) могут быть выражены как функции от координат u и матрица скобок Лагранжа

${\displaystyle [u_{i},u_{j}]_{p,q},\quad 1\leq i,j\leq 2n}$

представляет компоненты Ω , рассматриваемые как тензор в координатах u . Эта матрица является обратной к матрице, образованной скобками Пуассона

${\displaystyle \{u_{i},u_{j}\},\quad 1\leq i,j\leq 2n}$

в координатах u .

• Как следствие предыдущих свойств, координаты ( Q ₁ , …, Q _n , P ₁ , …, P _n ) в фазовом пространстве являются каноническими тогда и только тогда, когда скобки Лагранжа между ними имеют вид

${\displaystyle [Q_{i},Q_{j}]_{p,q}=0,\quad [P_{i},P_{j}]_{p,q}=0,\quad [Q_{i},P_{j}]_{p,q}=-[P_{j},Q_{i}]_{p,q}=\delta _{ij}.}$

См. также

• Лагранжева механика
• Гамильтонова механика

Литература

• Cornelius Lanczos . . — Dover, 1986. — ISBN 0-486-65067-7 .
• Patrick Iglesias. Les origines du calcul symplectique chez Lagrange // L'Enseign. Math. — 1998. — Т. (2) 44 , вып. 3-4 . — С. 257–277 . MR :

Ссылки

• Eric W. Weisstein . (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• A.P. Soldatov. Encyclopedia of Mathematics / Hazewinkel, Michiel. — Springer, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4 .