Функция Вигнера ( функция квазивероятностного распределения Вигнера , распределение Вигнера , распределение Вейля ) была введена Вигнером в 1932 году для изучения квантовых поправок к классической статистической механике . Целью было заменить волновую функцию , которая появляется в уравнении Шрёдингера на функцию распределения вероятности в фазовом пространстве . Она была независимо выведена Вейлем в 1931 году как символ матрицы плотности теории представлений в математике . Функция Вигнера применяется в статистической механике, квантовой химии , квантовой оптике , классической оптике и анализе сигналов в различных областях, таких как электроника , сейсмология , акустика , биология . При анализе сигналов используются названия преобразование Вигнера — Вилла и распределение Вигнера — Вилла .

Физический смысл

Классическая частица имеет определённое положение и импульс и поэтому представляется точкой в фазовом пространстве . Когда имеется набор ( ансамбль ) частиц, вероятность найти частицу в определённом малом объёме фазового пространства задаётся функцией распределения вероятности. Это неверно для квантовой частицы из-за принципа неопределённости . Вместо этого можно ввести квази-вероятностное распределение, которое не обязано удовлетворять всем свойствам нормальной функции распределения вероятности . Например, функция Вигнера становится отрицательной для состояний, которые не имеют классических аналогов, поэтому может быть использована для идентификации неклассических состояний.

Распределение Вигнера P ( x , p ) определяется как:

${\displaystyle P(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dy\,\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy}}$

где ${\displaystyle \psi }$ — волновая функция, а ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle p}$ — набор сопряжённых обобщённых координат и импульсов . Она симметрична по ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle p}$ :

${\displaystyle P(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dq\,\phi ^{*}(p+q)\phi (p-q)e^{-2ixq}}$

где ${\displaystyle \phi }$ — Фурье-преобразование функции ${\displaystyle \psi }$ .

В случае смешанного состояния :

${\displaystyle P(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dy\,\langle x-y|{\hat {\rho }}|x+y\rangle e^{2ipy}}$

где ${\displaystyle \rho }$ — матрица плотности .

Математические свойства

1. P ( x , p ) — действительная функция
2. Распределения вероятности по x и p задаются интегралами :
   • ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }dp\,P(x,p)=|\psi (x)|^{2}=\langle x|{\hat {\rho }}|x\rangle }$
   • ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\,P(x,p)=|\phi (p)|^{2}=\langle p|{\hat {\rho }}|p\rangle }$
   • ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\int \limits _{-\infty }^{\infty }dp\,P(x,p)=Tr({\hat {\rho }})}$
   • Обычно след ${\displaystyle \rho }$ равен 1.
   • 1. и 2. предполагает, что P ( x , p ) отрицательна где-нибудь, за исключением (и смешанных когерентных состояний) и сжатых вакуумных состояний .
3. P ( x , p ) обладает следующими зеркальными симметриями :
   • Временная симметрия :

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (x)^{*}\Rightarrow P(x,p)\rightarrow P(x,-p)}$

1. • Пространственная симметрия:

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (-x)\Rightarrow P(x,p)\rightarrow P(-x,-p)}$

1. P ( x , p ) инвариант относительно преобразований Галилея :
   • ${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (x+y)\Rightarrow P(x,p)\rightarrow P(x+y,p)}$
   • Она не инвариантна относительно преобразований Лоренца .
2. Уравнения движения для каждой точки в фазовом пространстве классические в отсутствие сил :

   ${\displaystyle {\frac {\partial P(x,p)}{\partial t}}={\frac {-p}{m}}{\frac {\partial P(x,p)}{\partial x}}}$

3. Перекрытие состояний вычисляется как:

   ${\displaystyle |\langle \psi |\theta \rangle |^{2}=2\pi \hbar \int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\,\int \limits _{-\infty }^{\infty }dp\,P_{\psi }(x,p)P_{\theta }(x,p)}$

4. Операторы и средние значения вычисляются как:
   • ${\displaystyle A(x,p)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }dy\,\langle x-y/2|{\hat {A}}|x+y/2\rangle e^{ipy/\hbar }}$
   • ${\displaystyle \langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle =Tr({\hat {\rho }}{\hat {A}})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\,\int \limits _{-\infty }^{\infty }dpP(x,p)A(x,p)}$
5. С тем чтобы P ( x , p ) представляла физические матрицы плотности необходимо:

   ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\,\int \limits _{-\infty }^{\infty }dp\,P(x,p)P_{\theta }(x,p)\geq 0}$ , где ${\displaystyle |\theta \rangle }$ — чистое состояние .

Измерение функции Вигнера

• Томография

Литература

• E. P. Wigner (1932). "On the quantum correction for thermodynamic equilibrium". Phys. Rev . 40 (5): 749—759. Bibcode : . doi : . : .
• Zachos, C. Quantum mechanics in phase space : an overview with selected papers / C. Zachos, D. Fairlie, T. Curtright. — New Jersey London : World Scientific, 2005. — ISBN 9789812383846 .
• Weyl, Hermann. The theory of groups and quantum mechanics. — Mansfield Centre, CT : Martino Publishing, 2014. — ISBN 1614275807 .

• H. Weyl, Z. Phys. 46, 1 (1927).
• H. Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik (Leipzig: Hirzel)(1928).
• J. Ville, Théorie et Applications de la Notion de Signal Analytique, Cables et Transmission, 2A: (1948) 61-74.
• W. Heisenberg, Über die inkohärente Streuung von Röntgenstrahlen, Physik. Zeitschr. 32, 737—740 (1931).
• P.A.M. Dirac, Note on exchange phenomena in the Thomas atom, Proc. Camb. Phil. Soc. 26, 376—395 (1930).

Ссылки

Для улучшения этой статьи желательно : Проставить сноски , внести более точные указания на источники. Добавить иллюстрации . После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.