Гиперболо́ид (от др.-греч. ὑπερβολή — гипербола , и εἶδος — вид, внешность) — незамкнутая центральная поверхность второго порядка в трёхмерном пространстве, задаваемая в декартовых координатах уравнением

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1}$ ( однополостный гиперболоид ),

где a и b — действительные полуоси, а c — мнимая полуось;

или

${\displaystyle -{x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1}$ ( двуполостный гиперболоид ),

где a и b — мнимые полуоси, а c — действительная полуось.

Если a = b , то такая поверхность называется гиперболоидом вращения . Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением гиперболы вокруг её мнимой оси, двуполостный — вокруг действительной. Двуполостный гиперболоид вращения также является геометрическим местом точек P, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек A и B постоянен: ${\displaystyle |AP-BP|=const}$ . В этом случае A и B называются фокусами гиперболоида.

Однополостный гиперболоид является дважды линейчатой поверхностью ; если он является гиперболоидом вращения, то он может быть получен вращением прямой вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней.

В науке и технике

Свойство двуполостного гиперболоида вращения отражать лучи, направленные в один из фокусов, в другой фокус, используется в телескопах системы Кассегрена и в антеннах Кассегрена .

Галерея

• 
  Проект 350-метровой башни В. Г. Шухова , 1919
• 
  Оптическая схема телескопа Кассегрена. Малое зеркало имеет форму гиперболоида.
• 
  Однополостный гиперболоид

В искусстве

В архитектуре

Линейчатая конструкция, имеющая форму однополостного гиперболоида, является жёсткой : если балки соединить шарнирно, гиперболоидная конструкция всё равно будет сохранять свою форму под действием внешних сил.

Для высоких сооружений основную опасность несёт ветровая нагрузка, а у решётчатой конструкции она невелика. Эти особенности делают гиперболоидные конструкции прочными, несмотря на невысокую материалоёмкость.

Примерами гиперболоидных конструкций являются:

• Шуховская башня
• Шуховская башня на Оке
• Аджигольский маяк
• Гиперболоидные мачты броненосца «Император Павел I»
• Гиперболоидные мачты американского линкора «Аризона»
• Башня порта Кобе
• Телебашня Гуанчжоу
• Aspire Tower
• Сиднейская телебашня
• Проект «Вортекс»
• Проект «Хрустальный остров»
• Хан Шатыр

В литературе

• Гиперболоид инженера Гарина (хотя на самом деле авторский текст описывает параболоид ) .

См. также

• Теорема о прямолинейных образующих однополостного гиперболоида
• Параболоид — другой вид поверхности второго порядка
• Гиперболический параболоид
• Гиперболоидные конструкции
• Гиперболоидная зубчатая передача

Примечания

Литература

• Энциклопедия МАТЕМАТИКА . — официальное. — Москва: Издательство «Дрофа», 2002. — 845 с. — ISBN 5-85270-278-1 .

Ссылки

• Граве Д. А. // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.