Interested Article - Окружность Аполлония

$d_{1}/d_{2}$ $d_{1}/d_{2}$ не зависит от $P$ $P$ .

Окружности Аполлония. Каждая голубая окружность пересекает каждую красную под прямым углом. Каждая красная окружность проходит через две точки (C и D), и каждая голубая окружность окружает только одну из этих точек

Окружность Аполло́ния — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице.

Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония.

Определение

Пусть на плоскости даны две точки $A$ $A$ и $B$ $B$ . Рассмотрим все точки $P$ $P$ этой плоскости, для каждой из которых отношение

k={\frac {PA}{PB}}

k={\frac {PA}{PB}}

есть фиксированное положительное число. При $k=1$ $k=1$ эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку $AB$ $AB$ ; в остальных случаях указанное геометрическое место — окружность, называемая окружностью Аполлония .

Замечания

Точки $A$ $A$ и $B$ $B$ называются фокусами окружности Аполлония.

Свойства

Радиус окружности Аполлония равен $R={\frac {k}{|k^{2}-1|}}\cdot AB.$ $R={\frac {k}{|k^{2}-1|}}\cdot AB.$
Отрезок $PC$ $PC$ между точкой на окружности и точкой пересечения окружности с прямой $AB$ $AB$ является биссектрисой самого угла $\angle APB$ $\angle APB$ или угла, смежного с ним .
Инверсия относительно окружности Аполлония меняет точки $A$ $A$ и $B$ $B$ местами.
Центр данной окружности лежит на прямой, соединяющей эти две точки.

О доказательствах

Одно из доказательств основано на свойстве внутренней и внешней биссектрисы треугольника, а именно то что биссектриса делит противоположную сторону в отношении пропорциональном прилежащим к ней сторонам.
Существует доказательство, основанное на свойстве инверсии .
Также существует довольно простое доказательство прямым подсчётом в координатах.

Приложения

Часто используется в анализе построений с помощью циркуля и линейки . В частности одно из решений задачи Брахмагупты основано на построении окружности Аполлония.

Окружность Аполлония находит применение при решении задачи сближения на плоскости с использованием .

См. также

Эллиптические координаты

Похоже определяемые кривые
- Гипербола — кривая постоянной разности расстояний между фокусами;
- Эллипс — кривая постоянной суммы расстояний между фокусами;
- овал Кассини — кривая постоянного произведения расстояний между фокусами.