Эффекти́вная ма́сса — величина, имеющая размерность массы и применяемая для удобного описания движения частицы в периодическом потенциале кристалла . Можно показать, что электроны и дырки в кристалле реагируют на электрическое поле так, как если бы они свободно двигались в вакууме , но с некой эффективной массой, которую обычно определяют в единицах массы электрона ${\displaystyle m_{0}}$ (9,11×10 ⁻³¹ кг ). Эффективная масса электрона в кристалле ( электрон проводимости ), вообще говоря, отлична от массы электрона в вакууме и может быть как положительной, так и отрицательной .

Понятие эффективной массы

Изотропный вариант

Если закон дисперсии ${\displaystyle E=E({\vec {k}})}$ электронов в конкретном кристаллическом веществе таков (или с приемлемой точностью может считаться таким), что энергия ${\displaystyle E}$ зависит только от модуля волнового вектора ${\displaystyle k}$ , то эффективной массой электрона, по определению, является величина

${\displaystyle m^{*}=\hbar ^{2}/\left[{{d^{2}E} \over {dk^{2}}}\right]}$ ,

где ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка-Дирака .

Иногда в целях радикального упрощения этим приближением ограничиваются, как если бы изотропная ситуация была единственной возможной.

Физический смысл

Скорость движения электрона в кристалле равна групповой скорости электронных волн и определяется как

${\displaystyle v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {1}{\hbar }}{\frac {dE}{dk}}}$ .

Здесь ${\displaystyle \omega }$ — частота. Дифференцируя ${\displaystyle v_{g}}$ по времени, определим ускорение электрона:

${\displaystyle a={\frac {dv_{g}}{dt}}={\frac {1}{\hbar }}{\frac {d^{2}E}{dk^{2}}}{\frac {dk}{dt}}}$ .

Сила, действующая на электрон в кристалле, составляет

${\displaystyle F={\frac {dp}{dt}}=\hbar {\frac {dk}{dt}}}$ ,

где ${\displaystyle p}$ — импульс. Из двух последних выражений получается

${\displaystyle a={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {d^{2}E}{dk^{2}}}F={\frac {F}{m^{*}}}}$ ,

откуда и виден смысл величины ${\displaystyle m^{*}}$ как некой «массы».

Типичное поведение

Для свободной частицы закон дисперсии квадратичен и, таким образом, эффективная масса является постоянной и равной массе покоя электрона ${\displaystyle m_{0}}$ .

В кристалле ситуация более сложна и закон дисперсии отличается от квадратичного. Тем не менее, кривая закона дисперсии ${\displaystyle E({\vec {k}})}$ вблизи своих экстремумов часто неплохо аппроксимируется параболой — и тогда эффективная масса ${\displaystyle m^{*}}$ также будет константой, хотя и отличной от ${\displaystyle m_{0}}$ . При этом ${\displaystyle m^{*}}$ может оказаться и положительной (вблизи дна зоны проводимости ), и отрицательной (вблизи потолка валентной зоны ).

Далеко от экстремумов эффективная масса, как правило, сильно зависит от энергии ${\displaystyle E}$ (формулировка «зависит от энергии» уместна только для изотропного случая), и тогда оперирование ею перестаёт приносить какие-либо удобства.

Анизотропия массы

В общем случае эффективная масса зависит от направления в кристалле и является тензором. Принято говорить о тензоре обратной эффективной массы, его компоненты находятся из закона дисперсии ${\displaystyle E=E({\vec {k}})}$ :

${\displaystyle \left({\frac {1}{m^{*}}}\right)_{i,j}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}}$ ,

где ${\displaystyle {\vec {k}}}$ — волновой вектор с проекциями ${\displaystyle k_{x}}$ , ${\displaystyle k_{y}}$ , ${\displaystyle k_{z}}$ на оси декартовой системы координат. Тензорная природа эффективной массы иллюстрирует тот факт, что в кристаллической решётке электрон движется как квазичастица, параметры движения которой зависят от направления относительно кристалла. При этом значения ${\displaystyle (1/m^{*})_{i,j}}$ зависят не от энергии, а от состояния, задаваемого вектором ${\displaystyle {\vec {k}}}$ .

Есть и другие подходы для вычисления эффективной массы электрона в кристалле .

Как и в изотропном приближении, использование тензора обратной эффективной массы в основном ограничено областями вблизи экстремумов функции ${\displaystyle E({\vec {k}})}$ . Вне этих областей — как, например, в случае анализа поведения популяции горячих электронов — рассматриваются непосредственно зависимости ${\displaystyle E({\vec {k}})}$ , которые табулируются.

Величина для некоторых полупроводников

Характерные значения эффективной массы составляют от долей до единиц ${\displaystyle m_{0}}$ , чаще всего около ${\displaystyle 0.5m_{0}}$ .

В таблице указана эффективная масса электронов ( ${\displaystyle m_{e}^{*}}$ ) и дырок ( ${\displaystyle m_{h}^{*}}$ ) для важнейших полупроводников — простых веществ IV группы и бинарных соединений A ^III B ^V и A ^II B ^VI . Все значения представлены в единицах массы свободного электрона ${\displaystyle m_{0}}$ .

Материал	${\displaystyle m_{e}^{*}}$	${\displaystyle m_{h}^{*}}$
Группа IV
Si (4,2 K)	1,08	0,56
Ge	0,55	0,37
A III B V
GaAs	0,067	0,45
InSb	0,013	0,6
A II B VI
ZnSe	0,17	1,44
ZnO	0,19	1,44

приводится температурная зависимость эффективной массы для кремния.

Экспериментальное определение

Традиционно эффективные массы носителей измерялись методом циклотронного резонанса , в котором измеряется поглощение полупроводника в микроволновом диапазоне спектра в зависимости от индукции магнитного поля ${\displaystyle B}$ . Когда микроволновая частота равняется циклотронной частоте ${\displaystyle \omega _{c}={\frac {eB}{m_{c}}},}$ в спектре наблюдается острый пик ( ${\displaystyle m_{c}}$ - циклотронная масса ). В случае квадратичного изотропного закона дисперсии носителей заряда ${\displaystyle E({\overrightarrow {k}})=\hbar ^{2}k^{2}/2m^{*}}$ эффективная и циклотронная массы совпадают, ${\displaystyle m_{c}=m^{*}}$ . В последние годы эффективные массы обычно определялись из измерения зонной структуры с использованием таких методов, как фотоэмиссия с угловым разрешением (ARPES) , или более прямым методом, основанным на эффекте де Гааза — ван Альфена .

Эффективные массы могут также быть оценены при использовании коэффициента γ из линейного слагаемого низкотемпературного электронного вклада в теплоёмкость при постоянном объёме ${\displaystyle c_{v}.}$ Теплоёмкость зависит от эффективной массы через плотность состояний на уровне Ферми .

Значимость эффективной массы

Как показывает таблица, полупроводниковые соединения A ^III B ^V , такие, как GaAs и InSb, имеют намного меньшие эффективные массы, чем полупроводники из четвёртой группы периодической системы — кремний и германий. В самой простой теории электронного транспорта Друде дрейфовая скорость носителей обратно пропорциональна эффективной массе: ${\displaystyle {\vec {v}}={\begin{Vmatrix}\mu \end{Vmatrix}}\cdot {\vec {E}},}$ где ${\displaystyle {\begin{Vmatrix}\mu \end{Vmatrix}}={\frac {e\tau }{\begin{Vmatrix}m^{*}\end{Vmatrix}}}}$ , ${\displaystyle \tau }$ — время релаксации по импульсам и ${\displaystyle e}$ — заряд электрона . Быстродействие интегральных микросхем зависит от скорости носителей, и, таким образом, малая эффективная масса — одна из причин того, что GaAs и другие полупроводники группы A ^III B ^V используются вместо кремния в приложениях, где требуется широкая полоса пропускания .

В случае переноса электронов и дырок через тонкий полупроводниковый или диэлектрический слой посредством туннельного эффекта эффективная масса в этом слое влияет на коэффициент прохождения (уменьшение массы влечёт увеличение коэффициента прохождения) и, следовательно, на ток.

Эффективная масса плотности состояний

Поведение плотности состояний электронов и дырок вблизи краёв зон аппроксимируется формулами

${\displaystyle \rho _{e}(E)=4\pi \left({\frac {2m_{dc}}{h^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {E-E_{c}}},\qquad \rho _{h}(E)=4\pi \left({\frac {2m_{dv}}{h^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {E_{v}-E}}}$ ,

где ${\displaystyle E_{v}}$ и ${\displaystyle E_{c}}$ — энергии краёв валентной зоны и зоны проводимости, соответственно, ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка. Входящие сюда величины ${\displaystyle m_{dv}}$ , ${\displaystyle m_{dc}}$ носят название эффективных масс плотности состояний. Для изотропного параболического закона дисперсии они совпадают с эффективными массами ${\displaystyle m^{*}}$ (раздельно для электронов и дырок), а в более сложных анизотропных случаях находятся численно, с усреднением по направлениям.

Обобщения

Понятие эффективной массы в физике твёрдого тела используется не только применительно к электронам и дыркам . Оно обобщается на другие квазичастицы (типы возбуждений), такие как фононы , фотоны или экситоны , с теми же формулами для расчёта (только подставляются законы дисперсии, соответственно, для фононов и так далее). Тем не менее, основным применением термина всё же является именно кинетика электронов и дырок в кристаллах.

Ссылки

• Pastori Parravicini, G. Electronic States and Optical Transitions in Solids (англ.) . — (англ.) ( , 1975. Книга содержит исчерпывающее, но доступное обсуждение темы с обширным сравнением между теорией и экспериментом.

Примечания

Литература

• Епифанов Г. И. Физические основы микроэлектроники. — М. : Советское радио, 1971. — 376 с.