Рассеяние света сферической частицей (рассеяние Ми) — классическая задача электродинамики , решённая в 1908 году Густавом Ми для сферической частицы произвольного размера .

Задача рассматривает рассеяние электромагнитной волны , имеющей напряжённость электрического поля

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t},}$

где ω — частота , k — волновой вектор , а E ₀ — амплитуда волны, на сферической частице с радиусом R и диэлектрической проницаемостью ε .

Решение задачи находится с помощью разложения электромагнитного поля на векторные сферические гармоники .

Качественные результаты

Рассеяние зависит от соотношения размеров частицы и длины волны света в материале частицы. Рэлеевское рассеяние является частным случаем рассеяния Ми для случая, когда частица намного меньше длины волны . В этом случае внешняя электромагнитная волна поляризует частицу, возбуждая в ней переменный дипольный момент . Дипольный момент, колеблющийся в такт с частотой внешней волны, переизлучает свет с характерной для дипольного момента диаграммой направленности. Если можно пренебречь частотной зависимостью диэлектрической проницаемости частицы, интенсивность рассеяния зависит от частоты в четвертой степени, что приводит к сильному рассеянию коротких волн. В рассеянном белом свете преобладает голубой оттенок, а в нерассеянном — красный.

В случае близости размеров частицы к длине волны света диаграмма направленности рассеяния становится сложной. Проявляется интерференция волн , отражённых от различных участков поверхности частицы. Интенсивность рассеянного под определенным углом света зависит от того, сколько раз волна укладывается на диаметре частицы, поэтому она сильно зависит от размеров частицы. Когда в размеры частицы укладывается несколько длин волны, чередование максимумов и минимумов в диаграмме направленности становится настолько частым, что при падении белого света на, например, коллоидный раствор, наблюдатель увидит белый рассеянный свет. В итоге вещество с большим количеством таких частиц становится непрозрачным. В этом причина белого цвета облаков на небе, белого цвета молока и т. д. Раствор коллоидных частиц может быть окрашен в том случае, когда вещество частиц избирательно поглощает свет в определенном спектральном диапазоне.

Если размеры сферы намного больше длины волны света, то поверхность сферы будет вести себя как плоская поверхность. Происходит преломление и отражение света, которые описываются формулами Френеля .

Рассеяние плоской волны сферической частицей

Задача рассеяния сферической наночастицей решается точно независимо от размера частицы. Будем рассматривать рассеяние плоской волны , распространяющейся вдоль оси z , поляризованной по x . Диэлектрическая и магнитная проницаемости частицы ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ и ${\displaystyle \mu _{1}}$ , а среды — ${\displaystyle \varepsilon }$ и ${\displaystyle \mu }$ соответственно. Для того, чтобы решить задачу рассеяния , выпишем сначала решения векторного уравнения Гельмгольца в сферических координатах , поскольку поля внутри и снаружи частицы должны ему удовлетворять. Уравнение Гельмгольца:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} +{k}^{2}\mathbf {E} =0,\ \ \ \ \nabla ^{2}\mathbf {H} +{k}^{2}\mathbf {H} =0}$

кроме уравнения Гельмгольца, поля должны ещё удовлетворять условиям ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {H} =0}$ и ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =i\omega \mu \mathbf {H} }$ , ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =-i\omega \varepsilon \mathbf {E} }$ . Всеми необходимыми свойствами обладают векторные сферические гармоники , введённые следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)}$ — магнитные гармоники

${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}}{\mathbf {k} }}}$ — электрические гармоники

где

${\displaystyle {\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}}$

${\displaystyle {\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}}$

и ${\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )}$ — присоединенные полиномы Лежандра , а ${\displaystyle z_{n}({k}r)}$ — любая из сферических функций Бесселя .

Далее необходимо разложить падающую плоскую волну по векторным сферическим гармоникам .

${\displaystyle \mathbf {E} _{inc}=E_{0}e^{ikr\cos \theta }\mathbf {e} _{x}=E_{0}\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )-i\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right)}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{inc}={\frac {-k}{\omega \mu }}E_{0}\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )+i\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right)}$

здесь верхний индекс ${\displaystyle (1)}$ означает, что в радиальной части функций ${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$ — сферические функции Бесселя.

Коэффициенты разложения получаются при взятии интегралов вида

${\displaystyle {\frac {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {E} _{inc}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}\sin \theta d\theta d\varphi }{\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }|\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}|^{2}\sin \theta d\theta d\varphi }}}$

при этом все коэффициенты при ${\displaystyle m\neq 1}$ обнуляются, поскольку обнуляется интеграл по углу ${\displaystyle \varphi }$ в числителе.

Затем накладываются

1) граничные условия на границе между шаром и окружающей средой (которые позволяют связать коэффициенты разложения падающего, внутреннего, и рассеянного полей),

2) условие ограниченности решения в начале координат(поэтому в радиальной части производящих функций ${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$ для внутреннего поля выбираются сферические функции Бесселя),

3) для рассеянного поля асимптотика на бесконечности соответствует расходящееся сферической волне(в связи с этим для рассеянного поля в радиальной части производящих функций ${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$ выбираются сферические функции Ханкеля первого рода).

Рассеянные поля записываются в виде разложения по векторным гармоникам как

${\displaystyle \mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(ia_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )-b_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right)}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{s}={\frac {k}{\omega \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(a_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+ib_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right)}$

здесь верхний индекс ${\displaystyle (3)}$ означает, что в радиальной части функций ${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$ — сферические функции Ханкеля, и ${\displaystyle E_{n}={\frac {i^{n}E_{0}(2n+1)}{n(n+1)}}}$ ,

а внутренние:

${\displaystyle \mathbf {E} _{1}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(-id_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+c_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right)}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{1}={\frac {-k_{1}}{\omega \mu _{1}}}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(d_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+ic_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right)}$

${\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}n}$ - волновой вектор снаружи частицы, ${\displaystyle k_{1}={\frac {\omega }{c}}{n_{1}}}$ — волновой вектор в среде из материала частицы, ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle n_{1}}$ — показатели преломления среды и частицы, После применения граничных условий получаются выражения для коэффициентов:

${\displaystyle c_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}}}$

${\displaystyle d_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}n_{1}n\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}n_{1}n\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle b_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}}}$

${\displaystyle a_{n}(\omega )={\frac {\mu n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

Здесь ${\displaystyle \rho =ka}$ , ${\displaystyle \rho _{1}=k_{1}a}$ , где ${\displaystyle a}$ — радиус наночастицы, ${\displaystyle j_{n}}$ и ${\displaystyle h_{n}}$ — сферические функции Бесселя и Ханкеля первого рода соответственно.

Сечения рассеяния и экстинкции

Сечения рассеяния и экстинкции могут быть получены интегрированием соответствующих функций электрического и магнитного полей по внешней сфере большого радиуса. Из-за свойств ортогональности векторных сферических гармоник, получается простая связь коэффициентов Ми и сечений. Сечение рассеяния:

${\displaystyle C_{sca}={\frac {2\pi }{k^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)(|a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2})}$

сечение экстинкции:

${\displaystyle C_{ext}={\frac {2\pi }{k^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\Re (a_{n}+b_{n})}$

Применение к субволновым частицам

Если в материале рассеивающего шара укладывается несколько длин волн, то рассеянные поля обладают некоторыми особенностями. Далее речь будет идти о виде электрического поля, поскольку магнитное поле получается из него взятием ротора .

Все коэффициенты Ми зависят от частоты и имеют максимумы, когда знаменатель близок к нулю (точное равенство нулю достигается для комплексных частот). При этом возможны ситуации, когда в рассеянии значительно доминирует вклад одной конкретной гармоники. Тогда на больших расстояниях от частицы диаграмма направленности рассеянного поля будет похожа на соответствующую диаграмму направленности угловой части векторных сферических гармоник. Гармоники ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m1}}$ соответствуют электрическим диполям (если в разложении электрического поля доминирует вклад этой гармоники, то поле похоже на поле электрического диполя), ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m1}}$ соответствуют электрическому полю магнитного диполя, ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m2}}$ и ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m2}}$ — электрический и магнитный квадруполи, ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m3}}$ и ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m3}}$ — октуполи, и так далее. Максимумы коэффициентов рассеяния (а также смена их фазы на ${\displaystyle \pi }$ ) называются мультипольными резонансами. Нули коэффициентов рассеяния относятся к анаполям .

Вид зависимости сечения рассеяния от длины волны и вклад конкретных резонансов сильно зависит от материала частицы. Так, например, для золотой частицы радиусом 100нм в оптическом диапазоне преобладает вклад электрического диполя в рассеяние, а для кремниевой есть ярко выраженные магнитный дипольный и квадрупольный резонансы. Для металлических частиц пик, видимый в сечении рассеяния, также называют локализованным плазмонным резонансом .

В пределе малых частиц или больших длин волн в сечении рассеяния доминирует электрический дипольный вклад.

• 
  Мультипольное разложение зависимости сечения рассеяния золотым шаром радиусом 100 нм от длины падающей плоской волны.
• 
  Мультипольное разложение зависимости сечения рассеяния шаром с показателем преломления n=4 радиусом 100 нм от длины падающей плоской волны.
• 
  Мультипольное разложение зависимости сечения рассеяния кремниевым шаром радиусом 100 нм от длины падающей плоской волны.

Другие направления падающей плоской волны

В случае x- поляризованной плоской волны, падающей вдоль z , разложения всех полей содержали только гармоники с m=1 , но для произвольной падающей волны это не так . Для повернутой плоской волны коэффициенты разложения можно получить, например, используя то, что при поворотах векторные сферические гармоники преобразуются друг через друга определенным образом . При этом рассеянное поле будет раскладываться уже по всем возможным гармоникам:

${\displaystyle \mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}E_{0}(D_{Memn}\mathbf {M} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Momn}\mathbf {M} _{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nemn}\mathbf {N} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nomn}\mathbf {N} _{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r} ))}$

Тогда сечение рассеяния будет выражаться через коэффициенты следующим образом:

${\displaystyle C_{sca}={\frac {2\pi }{\pi a^{2}k^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n(n+1)}{(2n+1)}}\times {\Bigl [}\sum \limits _{m=1}^{n}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}(|D_{Memn}|^{2}+|D_{Momn}|^{2}+|D_{Nemn}|^{2}+|D_{Nomn}|^{2})+2|D_{Me0n}|^{2}+2|D_{Ne0n}|^{2}{\Bigr ]}.}$

Эффект Керкера

В 1983 году в работе Керкера, Ванга и Джайлса обсуждалась направленность рассеяния частицами с ${\displaystyle \mu \neq 1}$ . В частности, было показано, что для гипотетических частиц с ${\displaystyle \mu =\varepsilon }$ рассеяние назад полностью подавляется.

Кроме того, сечения рассеяния в направлении вперед и назад просто выражаются через Ми-коэффициенты :

${\displaystyle C_{sca}^{backward}={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}{\bigg |}\sum _{n=1}^{\infty }{(2n+1)}(-1)^{n}(a_{n}-b_{n}){\bigg |}^{2}}$

${\displaystyle C_{sca}^{forward}={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}{\bigg |}\sum _{n=1}^{\infty }{(2n+1)}(a_{n}+b_{n}){\bigg |}^{2}}$

Для определенных комбинаций коэффициентов выражения выше могут быть минимизированы. Так, например, когда слагаемыми с ${\displaystyle n>1}$ можно пренебречь (дипольное приближение), ${\displaystyle (a_{1}-b_{1})=0}$ , отвечает минимальному рассеянию назад (магнитный и электрический диполи равны по модулю и находятся в фазе). Это условие также называется "первое условие Керкера", а ${\displaystyle (a_{1}+b_{1})=0}$ — минимальному рассеянию вперед, "второе условие Керкера". Для точного решения задачи необходимо учитывать вклады всех мультиполей. Сумма электрического и магнитного диполей образует источник Гюйгенса

Для диэлектрических частиц максимальное рассеяние вперед наблюдается на длинах волн больших, чем длина волны магнитного дипольного резонанса, а назад — на меньших.

Также есть небольшое на YouTube с объяснением эффекта.

Диадная функция Грина шара

Функция Грина является решением следующего уравнения:

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times {\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega ){\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+{\bf {\hat {1}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} '),}$

где ${\displaystyle {\hat {\bf {1}}}}$ — единичная матрица, ${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )}$ для ${\displaystyle r<a}$ , и ${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon }$ для ${\displaystyle r>a}$ . Поскольку все поля являются векторными, функция Грина представляет из себя матрицу 3 на 3 и называется диадной. Если в системе индуцированна поляризация ${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )}$ , то поля выражаются как

${\displaystyle \mathbf {E} ^{\omega }({\mathbf {r} })=\omega ^{2}\mu \int \limits _{V}dV'{\hat {\bf {G}}}({\bf {r,r'}},k)\mathbf {P} ^{\omega }(\mathbf {r} ')}$

Как и поля, функция Грина может быть разложена по векторным сферическим гармоникам . Функция Грина свободного пространства :

${\displaystyle {\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})={\frac {\mathbf {e_{r}} \otimes \mathbf {e_{r}} }{k^{2}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot }$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\cdot {\Bigl (}(\mathbf {M} _{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M} _{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} '])+({\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']){\Bigr )},{\text{если }}r<r'\\\cdot {\Bigl (}(\mathbf {M} _{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M} _{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} '])+({\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']){\Bigr )},{\text{если }}r>r'\end{array}}\right.}$

В присутствии шара функция Грина также раскладывается по векторным сферическим гармоникам. Ее вид зависит от того, в какой среде находятся точки ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ .

Когда обе точки снаружи шара( ${\displaystyle r>a,r'>a}$ ):

${\displaystyle {\hat {\bf {G}}}^{00}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})={\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot }$

${\displaystyle \cdot {\Bigl (}a_{n}^{(0)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} '])+b_{n}^{(0)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']){\Bigr )}}$

где коэффициенты разложения:

${\displaystyle a_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle b_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}}.}$

Обе точки внутри шара ( ${\displaystyle r<a,r'<a}$ ) :

${\displaystyle {\hat {\bf {G}}}^{11}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})={\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k_{1}})+{\frac {ik_{1}}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot }$

${\displaystyle \cdot {\Bigl (}c_{n}^{(1)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} '])+d_{n}^{(1)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']){\Bigr )},}$

Коэффициенты разложения:

${\displaystyle c_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},}$

${\displaystyle d_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}{n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.}$

Источник внутри, а наблюдение снаружи ( ${\displaystyle r>a,r'<a}$ ) :

${\displaystyle {\hat {\bf {G}}}^{01}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})={\frac {ik_{1}}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot }$

${\displaystyle \cdot {\Bigl (}a_{n}^{(1)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} '])+b_{n}^{(1)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']){\Bigr )}}$

коэффициенты разложения:

${\displaystyle a_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},}$

${\displaystyle b_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {nn_{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho _{1})-nn_{1}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.}$

Источник снаружи, а наблюдение внутри ( ${\displaystyle r<a,r'>a}$ ) :

${\displaystyle {\hat {\bf {G}}}^{10}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})={\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot }$

${\displaystyle \cdot {\Bigl (}c_{n}^{(0)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} '])+d_{n}^{(0)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} ']){\Bigr )}}$

где коэффициенты разложения:

${\displaystyle c_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle d_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {nn_{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-nn_{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}}.}$

Внешние ссылки

• и Коллекции кодов по рассеянию света на FORTRAN , C++ , IDL , Pascal , Mathematica и Mathcad
• рассчитывает спектр сечения рассеяния и мультипольное разложение для произвольной многослойной сферы, есть расчёт ближнего поля. Параметры материалов взяты с сайта . Исходный код калькулятора открыт и является частью проекта , открытого программного обеспечения на C++ для расчёта рассеяния Ми (решение для ближнего и дальнего поля многослойной сферы), с возможностью вызова из Python и JavaScript .
• Расчет в MatLab рассеяния от многослойной сферы в случаях, когда источник точечный диполь и плоская волна. Описание в
• (2D C++ код для расчета аналитических полей от бесконечного цилиндра, разработан Jeffrey M. McMahon)
• . Программное обеспечение для Windows.
• рассчитывает диаграммы направленности и др для конкретных параметров. Есть пакет того же автора на Python .
• Онлайн Ми-калькулятор на PHP .
• , Решение Ми на Python .
• , пакет для решения задачи Ми на C++ и оболочке Python .
• программа для расчёта разнообразных физических эффектов, связанных с теорий Ми (только под Windows )

Ссылки