Interested Article - Гиперболическая ортогональность

Евклидова ортогональность сохраняется при вращении на левой диаграмме; гиперболическая ортогональность относительно гиперболы (В) сохраняется при гиперболическом вращении на правой диаграмме

Гиперболическая ортогональность — понятие в Евклидовой геометрии . Две линии называются гиперболически ортогональными , когда они являются отражением друг от друга по асимптоте данной гиперболы .

На плоскости часто используются две особые гиперболы:

(A) xy = 1 при y = 0 как асимптота.

При отражении по оси x, линия y = mx становится y = -mx .

В этом случае линии являются гиперболическими ортогональными, если их угловые коэффициенты являются противоположными числами .

(B) x ² — y ² = 1 при y = x как асимптота.

Для линий y = mx при −1 < m < 1, когда x = 1/ m , то y = 1.

Точка (1/ m , 1) на линии отражается через y = x в (1, 1/ m ).

Поэтому отраженная линия имеет наклон 1/m, а угловые коэффициенты гиперболических ортогональных линий — обратные друг для друга.

Отношение гиперболической ортогональности фактически применяется к классам параллельных прямых на плоскости, где любая конкретная линия может представлять класс. Таким образом, для данной гиперболы и асимптоты A пара прямых ( a, b ) являются гиперболическими ортогональными, если существует пара ( c, d ) такая, что $a\rVert c,\ b\rVert d$ , а c — это отражение d через A .

Свойство радиуса, ортогонального к касательной на кривой, расширяется от круга на гиперболу при помощи понятия гиперболической ортогональности.

С момента появления в 1908 году пространства-времени Минковского была введена концепция гиперболически ортогональных к линии времени (касательная к мировой линии ) точек в плоскости пространства-времени, для определения одновременности событий относительно заданной линии времени. В исследовании Минковского используется гипербола типа (B). Два вектора $x,y,z,t\quad {\text{и}}\quad x_{1},y_{1},z_{1},t_{1}$ являются нормальными (в смысле гиперболической ортогональности) когда

c^{2}t\ t_{1}-x\ x_{1}-y\ y_{1}-z\ z_{1}=0.

Где c = 1, y и z равны нулю, x ≠ 0, t ₁ ≠ 0, то ${\frac {t}{x}}={\frac {x_{1}}{t_{1}}}$ .

В аналитической геометрии для описания ортогональности используется билинейная форма , причем два элемента ортогональны, когда их билинейная форма обращается в нуль. В плоскости комплексных чисел $z_{1}=u+iv,\quad z_{2}=x+iy$ , билинейная форма есть $xu+yv$ , тогда как в плоскости гиперболических чисел $w_{1}=u+jv,\quad w_{2}=x+jy,$ билинейная форма есть $xu-yv.$

Два вектора z ₁ и z ₂ в комплексной плоскости, и w ₁ и w ₂ в гиперболической плоскости называются соответственно евклидово ортогональными и гиперболически ортогональными , если их соответствующие внутренние произведения билинейных форм равны нулю.

Для данной гиперболы с асимптотой А , ее отражение в А дает сопряженную гиперболу . Любой диаметр исходной гиперболы отражается в (англ.) ( . В теории относительности направления, заданные сопряженными диаметрами, берутся в качестве пространственных и временных осей.

Как писал E. Т. Уиттакер в 1910 году, «гипербола не изменяется, если любая пара сопряженных диаметров принимается за новые оси, а новая единица длины берется пропорционально длине любого из этих диаметров». На этом принципе относительности он затем написал преобразования Лоренца в современной форме с использованием понятия быстрота .

и Гилберт Н. Льюис разработали концепцию в рамках синтетической геометрии в 1912 году. Они отмечают, что «в нашей плоскости ни одна пара перпендикулярных гиперболически-ортогональных линий не подходит в качестве осей координат лучше, чем любая другая пара»

Понятие гиперболической ортогональности возникло в аналитической геометрии с учетом сопряженных диаметров эллипсов и гипербол. Если g и g' представляют собой угловые коэффициенты сопряженных диаметров, то $gg'=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}$ в случае эллипса и $gg'={\frac {b^{2}}{a^{2}}}$ в случае гиперболы. Если a = b , эллипс представляет собой окружность, сопряженные диаметры перпендикулярны, гипербола — прямоугольная, а сопряженные диаметры — гиперболически ортогональны.

В терминологии проективной геометрии операция взятия гиперболической ортогональной линии есть инволюция . Предположим, что угловой коэффициент вертикальной линии обозначен как ∞, тогда все линии имеют угловой коэффициент в проективно расширенной числовой прямой . Затем, в зависимости от того, какая из гипербол (A) или (B) используется, операция является примером гиперболической инволюции , где асимптота инвариантна.

Примечания

↑ Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) «The Space-time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics» Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387-507, esp. 415
Bjørn Felsager (2004), от 16 июля 2011 на Wayback Machine , ICME-10 Copenhagen; pages 6 & 7.
Minkowski, Hermann (1909), , Physikalische Zeitschrift , 10 : 75—88
- Различные английские переводы на Wikisource:
Sobczyk, G.(1995) от 13 ноября 2013 на Wayback Machine , also published in College Mathematics Journal 26:268-80.
E. T. Whittaker (1910) Dublin: Longmans, Green and Co. (see page 441)
Barry Spain (1957) от 5 марта 2016 на Wayback Machine , ellipse § 33, page 38 and hyperbola § 41, page 49, from

Литература

G. D. Birkhoff (1923) Relativity and Modern Physics , pages 62,3, .
Francesco Catoni, Dino Boccaletti, & Roberto Cannata (2008) Mathematics of Minkowski Space , , Basel. See page 38, Pseudo-orthogonality.
(1987) Orthogonality and Spacetime Geometry , chapter 1: A Trip on Einstein’s Train, Universitext Springer-Verlag ISBN 0-387-96519-X
J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne. (неопр.) . — W.H. Freeman & Co, 1973. — С. . — ISBN 0-7167-0344-0 .