Аксиомы Биркгофа — система из четырёх постулатов в евклидовой геометрии. Эти постулаты основаны на утверждениях, которые можно проверить, проводя измерения с помощью транспортира и линейки.

В формулировке постулатов используются вещественные числа . Поэтому система постулатов Биркгофа напоминает введение евклидовой геометрии при помощи модели .

История

Предложена Джорджем Биркгофом . Биркгоф участвовал в написании школьного учебника с использованием этой системы аксиом. Эта система повлияла на систему аксиом, разработанную для американской школы.

Несколько более поздних книг по основаниям геометрии, книги , и использует аксиоматику, близкую к Биркгофовской.

Постулаты

Постулат I: Множество точек { A, B , …} на любой прямой допускает биекцию на вещественные числа { a, b , … }, так что

${\displaystyle |b-a|=d(A,B)}$

для всех точек A и B .

Постулат II: Существует одна и только одна прямая ℓ , которая содержит любые две различные точки Р и Q .

Постулат III: Множество лучей { ℓ,m, n ,…} с началом в любой точке O допускает биекцию на множество вещественных чисел по модулю 2 π так, что если A и B — точки (отличные от О ) на лучах ℓ и m соответственно, то ${\displaystyle a_{m}-a_{\ell }\equiv \angle AOB{\pmod {2\cdot \pi }}}$ . Кроме того, если точка B на m двигается непрерывно вдоль прямой р , не содержащей вершину О , то число a _m также меняется непрерывно.

Постулат IV . Предположим, два треугольника ${\displaystyle ABC}$ и ${\displaystyle A'B'C'}$ таковы, что ${\displaystyle d(A',B')=k\cdot d(A,B)}$ , ${\displaystyle d(A',C')=k\cdot d(A,C)}$ для некоторого вещественного числа ${\displaystyle k>0}$ и ${\displaystyle \angle B'A'C'=\pm \angle BAC{\pmod {2{\cdot }\pi }}}$ , тогда ${\displaystyle d(B',C')=k\cdot d(B,C)}$ , ${\displaystyle \angle A'C'B'=\pm \angle ACB{\pmod {2{\cdot }\pi }}}$ и ${\displaystyle \angle C'B'A'=\pm \angle CBA{\pmod {2{\cdot }\pi }}}$ .

См. также

• Аксиоматика Гильберта
• Аксиоматика Александрова
• Евклидова геометрия

Примечания