Виды энергии :
	Механическая	Потенциальная Кинетическая
‹ ♦ ›
	Электромагнитная	Электрическая Магнитная
	Химическая
	Ядерная
${\displaystyle G}$	Гравитационная
${\displaystyle \emptyset }$	Вакуума
Гипотетические:
${\displaystyle }$	Тёмная
См. также: Закон сохранения энергии

Вну́тренняя эне́ргия — энергия термодинамической системы в системе отсчета её центра масс . Принято в физике сплошных сред , термодинамике и статистической физике для той части полной энергии термодинамической системы , которая не зависит от выбора системы отсчета и которая в рамках рассматриваемой задачи может изменяться . То есть для равновесных процессов в системе отсчета, относительно которой центр масс рассматриваемого макроскопического объекта покоится, изменения полной и внутренней энергии всегда совпадают. Перечень составных частей полной энергии, входящих во внутреннюю энергию, непостоянен и зависит от решаемой задачи. Иначе говоря, внутренняя энергия — это не специфический вид энергии , а совокупность тех изменяемых составных частей полной энергии системы, которые следует учитывать в конкретной ситуации.

Внутренняя энергия как специфическое для термических систем понятие, а не просто как термин для обозначения изменяемой части полной энергии, нужна постольку, поскольку с её помощью в физику вводят новые величины: термические ( температура , энергия Гельмгольца , энтальпия и энтропия ) и химические ( химические потенциалы и массы составляющих систему веществ , энергия Гиббса ) .

Деление полной энергии системы на потенциальную , кинетическую , внутреннюю и т. д. зависит от формальных определений этих понятий и поэтому достаточно условно . Так, иногда во внутреннюю энергию не включают потенциальную энергию, связанную с полями внешних сил . Важно, что правильность получаемых при решении конкретной задачи результатов зависит от корректности составления уравнения энергетического баланса , а не от терминологических нюансов.

Воспринимаемые органами чувств человека нагрев или охлаждение макроскопического объекта при прочих равных условиях (например, при постоянстве давления) есть проявления изменения внутренней энергии этого объекта: при повышении температуры внутренняя энергия системы увеличивается, а при понижении температуры — уменьшается . Обратное неверно: постоянство температуры объекта не означает неизменность его внутренней энергии (например, температура системы неизменна при фазовых переходах первого рода — плавлении, кипении и др.).

Свойства внутренней энергии

Непосредственно из определения внутренней энергии как части полной энергии вытекает, что

• внутренняя энергия есть индифферентный скаляр , то есть во внутреннюю энергию не входит кинетическая энергия системы как единого целого и кинетическая энергия среды внутри системы (энергия смещения элементарных областей при деформации твёрдых тел и энергия потоков жидкостей и газов в среде);
• внутренняя энергия есть величина аддитивная , то есть внутренняя энергия системы равна сумме внутренних энергий её подсистем ;
• внутренняя энергия задаётся с точностью до постоянного слагаемого, зависящего от выбранного нуля отсчёта и не сказывающегося на экспериментальных замерах изменения внутренней энергии .

Составные части внутренней энергии

Термодинамика вопрос о природе внутренней энергии не рассматривает и энергетические превращения (подчас весьма сложные), происходящие внутри системы на микроуровне, не детализирует . В статистической физике во внутреннюю энергию системы включают энергию разных видов движения и взаимодействия входящих в систему частиц: энергию поступательного , вращательного и колебательного движений атомов и молекул , энергию внутри- и межмолекулярного взаимодействия , энергию электронных оболочек атомов и др.

Во внутреннюю энергию не включают те составные части полной энергии, которые не меняются при изменении макроскопического состояния системы. Так, при обычных температурах в состав внутренней энергии не включают энергию атомных ядер , ибо она в этих условиях не меняется . Но если речь идёт о температурах, при которых начинается термический распад атомных ядер, то эту энергию необходимо учитывать.

Энергию системы в поле внешних сил в состав её внутренней энергии не включают при условии, что термодинамическое состояние системы при перемещении в поле этих сил не изменяется . При изменении состояния системы под действием внешних полей во внутреннюю энергию системы включают потенциальную энергию системы в этих полях ( гравитационном , электромагнитном ) .

Влияние поля тяготения на внутреннюю энергию термодинамической системы учитывают тогда, когда высота рассматриваемого столба газа (жидкости) значительна, например, при анализе состояния атмосферы .

Так как поверхность тела растет пропорционально квадрату размеров этого тела, а объём — пропорционально кубу этих размеров, то для больших тел поверхностными эффектами по сравнению с объёмными можно пренебречь . Однако для дисперсных систем с развитыми поверхностями раздела между жидкими, твердыми и газообразными фазами ( адсорбенты и микрогетерогенные системы: коллоидные растворы , эмульсии , туманы , дымы ) пренебрежение поверхностными эффектами недопустимо, более того, они определяют многие своеобразные свойства таких систем и для них энергию поверхностных слоёв на границах раздела фаз (поверхностную энергию) учитывают как часть внутренней энергии .

При решении задач, требующих учёта кинетической энергии (физика сплошных сред, техническая и ), оперируют полной энергией, совместно рассматривая законы сохранения массы , энергии, заряда , законы механики и законы термодинамики .

Внутренняя энергия в равновесной термодинамике

Историческая справка

В термодинамику внутреннюю энергию ввёл Р. Клаузиус (1850), не озаботившийся присвоением специального наименования «функции ${\displaystyle U}$ », использованной учёным в математической формулировке первого начала (закона) термодинамики ; впоследствии Клаузиус называл функцию ${\displaystyle U}$ просто «энергией» . У. Томсон (лорд Кельвин) (1851) в статье «О динамической теории теплоты» дал этой новой физической величине принятую доныне трактовку и название «механическая энергия» . Термин «внутренняя энергия (internal energy)» принадлежит У. Ренкину .

Первое начало термодинамики

Первое начало (закон) термодинамики представляет собой конкретизацию общефизического закона сохранения энергии для термодинамических систем. В рамках традиционного подхода первое начало формулируют как соотношение, устанавливающее связь между внутренней энергией, работой и теплотой : одна из этих физических величин задаётся с помощью двух других, которые, будучи исходными объектами теории, в рамках самой этой теории определены быть не могут просто потому, что не существует понятий более общих, под которые можно было бы подвести подлежащие определению термины . В соответствии с интерпретацией У. Томсона первое начало трактуют как дефиницию внутренней энергии для закрытых систем . А именно, изменение внутренней энергии термодинамической системы ${\displaystyle U}$ в каком-либо процессе полагают равным алгебраической сумме количества теплоты ${\displaystyle Q}$ , которой система обменивается в ходе процесса с окружающей средой, и работы ${\displaystyle A}$ , совершённой системой или произведённой над ней :

${\displaystyle \Delta U\equiv Q+A.}$

(Первое начало в формулировке Томсона)

В этом использовано « термодинамическое правило знаков для теплоты и работы ».

Термодинамика заимствует понятия энергии и работы из других разделов физики, тогда как определение количеству теплоты, наоборот, даётся только и именно в термодинамике. По этой причине логичнее сразу трактовать первое начало так, как это делали Клаузиус и его последователи, а именно, как определение теплоты через внутреннюю энергию и работу . С использованием «теплотехнического правила знаков для теплоты и работы» математическое выражение для первого начала в формулировке Клаузиуса имеет вид:

${\displaystyle Q\equiv \Delta U+A.}$

(Первое начало в формулировке Клаузиуса)

При использовании термодинамического правила знаков для теплоты и работы знак у ${\displaystyle A}$ меняется на противоположный: ${\displaystyle Q\equiv \Delta U-A}$ .

вводит внутреннюю энергию как физическую характеристику системы, поведение которой определяется законом сохранения энергии, но не определяет эту величину как математический объект, то есть функцию конкретных параметров состояния . Альтернативное определение внутренней энергии предложено К. Каратеодори (1909), который сформулировал первое начало термодинамики в виде аксиомы о существовании внутренней энергии — составной части полной энергии системы — как функции состояния, зависящей для простых систем от объёма системы ${\displaystyle V}$ , давления ${\displaystyle p}$ и масс составляющих систему веществ ${\displaystyle m_{1}}$ , ${\displaystyle m_{2}}$ , …, ${\displaystyle m_{i}}$ , … :

${\displaystyle U=U\left(p,V,\left\{m_{i}\right\}\right).}$

(Первое начало в формулировке Каратеодори)

Важно, что данное определение внутренней энергии справедливо для открытых систем . В формулировке Каратеодори внутренняя энергия не представляет собой характеристическую функцию своих независимых переменных.

Постулат Тиссы

В аксиоматической системе Л. Тиссы набор постулатов термодинамики дополнен утверждением о том, что внутренняя энергия ограничена снизу, и что эта граница соответствует абсолютному нулю температуры .

Калорические уравнения состояния

Внутренняя энергия системы есть однозначная, непрерывная и ограниченная функция состояния системы . Для определённости полагают внутреннюю энергию ограниченной снизу. За начало отсчёта внутренней энергии принимают её значения при абсолютном нуле температуры . Уравнение, выражающее функциональную зависимость внутренней энергии от параметров состояния , носит название калорического уравнения состояния . Для простых однокомпонентных систем калорическое уравнение связывает внутреннюю энергию с любыми двумя из трёх параметров ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle T,}$ то есть имеется три калорических уравнения состояния:

${\displaystyle U=U(T,V),}$

(Калорическое уравнение состояния с независимыми переменными T и V )

${\displaystyle U=U(T,p),}$

(Калорическое уравнение состояния с независимыми переменными T и p )

${\displaystyle U=U(V,p).}$

(Калорическое уравнение состояния с независимыми переменными V и p )

Выбор независимых переменных для калорического уравнения состояния, теоретически не имеющий принципиального значения, важен с практической точки зрения: удобнее иметь дело с непосредственно измеримыми величинами типа температуры и давления.

Применение термодинамики для решения практических задач часто требует знания параметров, конкретизирующих свойства изучаемого объекта, то есть требуется математическая модель системы, с необходимой точностью описывающая её свойства. К таким моделям, называемым в термодинамике уравнениями состояния , относятся термическое и калорическое уравнения состояния. Для каждой конкретной термодинамической системы её уравнения состояния устанавливают по экспериментальным данным или находят методами статистической физики, и в рамках термодинамики они считаются заданными при определении системы . Если для системы известны её термическое и калорическое уравнения состояния, то тем самым задано полное термодинамическое описание системы и можно вычислить все её термодинамические свойства .

Внутренняя энергия как характеристическая функция

Условия равновесия и стабильности термодинамических систем, выраженные через внутреннюю энергию

Экспериментальное определение внутренней энергии

В рамках термодинамики абсолютное значение внутренней энергии найдено быть не может, поскольку она задаётся с точностью до аддитивной постоянной. Экспериментально можно определить изменение внутренней энергии, а неопределённость, обусловленную аддитивной постоянной, устранить выбором стандартного состояния в качестве состояния отсчёта . С приближением температуры к абсолютному нулю внутренняя энергия становится независимой от температуры и приближается к определённому постоянному значению, которое может быть принято за начало отсчёта внутренней энергии .

С метрологической точки зрения нахождение изменения внутренней энергии есть косвенное измерение , поскольку это изменение определяют по результатам прямых измерений других физических величин, функционально связанных с изменением внутренней энергии. Основная роль при этом отводится определению температурной зависимости теплоёмкости системы. Действительно, дифференцируя , получаем :

${\displaystyle dU=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}dT+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}dV=C_{V}dT+\left[T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p\right]dV=C_{V}dT+\left({\frac {\alpha }{\chi }}T-p\right)dV.}$

Здесь ${\displaystyle C_{V}}$ — теплоёмкость системы при постоянном объёме; ${\displaystyle \alpha }$ — изобарный коэффициент объёмного расширения ; ${\displaystyle \chi }$ — изотермический коэффициент объёмного сжатия . Интегрируя это соотношение, получаем уравнение для вычисления изменения внутренней энергии по данным экспериментальных измерений:

${\displaystyle \Delta U=U_{2}-U_{1}=\int \limits _{T_{1}}^{T_{2}}C_{V}dT+\int \limits _{V_{1}}^{V_{2}}\left({\frac {\alpha }{\chi }}T-p\right)dV,}$

где индексы 1 и 2 относятся к начальному и конечному состоянию системы. Для вычисления изменения внутренней энергии в изохорных процессах ${\displaystyle (V={\text{const}})}$ достаточно знать зависимость теплоёмкости ${\displaystyle C_{V}}$ от температуры:

${\displaystyle \Delta U=U_{2}-U_{1}=\int \limits _{T_{1}}^{T_{2}}C_{V}dT.}$

(Изменение внутренней энергии в изохорном процессе)

Внутренняя энергия классического идеального газа

Из уравнения Клапейрона — Менделеева следует, что внутренняя энергия идеального газа зависит от его температуры и массы и не зависит от объёма (закон Джоуля ) :

${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=0.}$

(Закон Джоуля)

Для классического (неквантового) идеального газа статистическая физика даёт следующее калорическое уравнение состояния :

${\displaystyle U=k{\frac {m}{M}}RT,}$

(Внутренняя энергия идеального газа)

где ${\displaystyle m}$ — масса газа, ${\displaystyle M}$ — молярная масса этого газа, ${\displaystyle R}$ — универсальная газовая постоянная , а коэффициент ${\displaystyle k}$ равен 3/2 для одноатомного газа, 5/2 для двухатомного и 3 для многоатомного газа; за начало отсчёта, которому присвоено нулевое значение внутренней энергии, принято состояние идеальногазовой системы при абсолютном нуле температуры. Из следует, что внутренняя энергия идеального газа аддитивна по массе .

Каноническое уравнение состояния для внутренней энергии, рассматриваемой как характеристическая функция энтропии ${\displaystyle S}$ и объёма ${\displaystyle V}$ имеет вид :

${\displaystyle U(S,V)={\frac {mC_{V}}{MV_{1}^{{\mathsf {\gamma }}-1}}}\exp \left({\frac {S}{C_{V}}}\right),}$

(Каноническое уравнение состояния для внутренней энергии)

где ${\displaystyle C_{V}}$ — теплоёмкость при постоянном объёме, равная ${\displaystyle {\frac {3R}{2}}}$ для одноатомных газов, ${\displaystyle {\frac {5R}{2}}}$ для двухатомных и ${\displaystyle 3R}$ для многоатомных газов; ${\displaystyle V_{1}}$ — безразмерная величина, численно совпадающая со значением ${\displaystyle V}$ в используемой системе единиц измерения ; ${\displaystyle \gamma }$ — показатель адиабаты , равный ${\displaystyle {\frac {5}{3}}}$ для одноатомных газов, ${\displaystyle {\frac {7}{5}}}$ для двухатомных и ${\displaystyle {\frac {4}{3}}}$ для многоатомных газов.

Внутренняя энергия фотонного газа

В термодинамике равновесное тепловое излучение рассматривают как фотонный газ , заполняющий объём ${\displaystyle V}$ . Внутренняя энергия такой системы безмассовых частиц , даваемая законом Стефана — Больцмана , равна :

${\displaystyle U={\frac {4\sigma }{c}}VT^{4},}$

(Внутренняя энергия фотонного газа)

где ${\displaystyle \sigma }$ — постоянная Стефана — Больцмана , ${\displaystyle c}$ — электродинамическая постоянная ( скорость света в вакууме ). Из следует, что внутренняя энергия фотонного газа аддитивна по объёму .

Каноническое уравнение состояния для внутренней энергии фотонного газа имеет вид :

${\displaystyle U(S,V)={\frac {4\sigma }{c}}V\left({\frac {3cS}{16\sigma V}}\right)^{\mathsf {\frac {4}{3}}}.}$

(Каноническое уравнение состояния для внутренней энергии фотонного газа)

Внутренняя энергия в физике сплошных сред

В физике сплошных сред , составной частью которой является неравновесная термодинамика , оперируют полной энергией среды , рассматривая её как сумму кинетической и внутренней энергии среды . Кинетическая энергия сплошной среды зависит от выбора системы отсчета, а внутренняя энергия — нет . Образно говоря, внутренняя энергия элементарного тела среды как бы «вморожена» в элементарный объём и перемещается вместе с ним, а кинетическая энергия связана с движением внутри непрерывной среды. Для внутренней энергии принимают справедливость всех соотношений, даваемых для неё равновесной термодинамикой в локальной формулировке .

Комментарии

Примечания

Литература

• Clausius R. (нем.) // Annalen der Physik und Chemie. — 1850. — Bd. 79 , Nr. 3 . — S. 368—397 .
• Clausius R. (нем.) // Annalen der Physik und Chemie. — 1850. — Bd. 79 , Nr. 4 . — S. 500—524 .
• Clausius R. . — Braunschweig: Druck und Verlag von Friedrich Vieweg und Sohn, 1864. — xviii + 351 S.
• Clausius R. (нем.) // Annalen der Physik und Chemie. — 1865. — Bd. 125 , Nr. 7 . — S. 353—400 .
• Clausius R. . — 3 Auflage. — Braunschweig: Druck und Verlag von Friedrich Vieweg und Sohn, 1887. — xvi + 403 S.
• Kirchhoff Gustav . (нем.) . — Leipzig: Verlag von B. J. Teubner, 1894. — x + 210 S.
• Rankine W.J.M. . — 6 ed. — London: Charles Griffin and company, 1872. — XVI + 648 с.
• Thomson William . . — Cambridge: The Cambridge University Press, 1882. — xii + 558 p.
• Tisza Laszlo . Generalized Thermodynamics. — Cambridge (Massachusetts) — London (England): The M.I.T. Press, 1966. — 384 с.
• Базаров И. П. Термодинамика. — 5-е изд. — СПб. — М. — Краснодар: Лань, 2010. — 384 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1003-3 .
• Башкиров А. Г. (рус.) // Большая российская энциклопедия. — Большая Российская энциклопедия , 2006. — Т. 5 . — С. 476 .
• Березин Ф. А. Лекции по статистической физике / Под ред. Д. А. Лейтеса. — М. : МЦНМО, 2008. — 197 с. — ISBN 978-5-94057-352-4 .
• Борн М. (рус.) // Развитие современной физики / Отв. ред. Б. Г. Кузнецов . — М. : Наука, 1964. — С. 223—256 .
• Булер П. Физико-химическая термодинамика вещества. — СПб. : Янус, 2001. — 192 с. — ISBN 5-9276-0011-5 .
• Гельфер Я. М. История и методология термодинамики и статистической физики. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Высшая школа, 1981. — 536 с.
• Герасимов Я. И., Древинг В. П., Еремин Е. Н. и др. Курс физической химии / Под общ. ред. Я. И. Герасимова. — 2-е изд. — М. : Химия, 1970. — Т. I. — 592 с.
• Гиббс Дж. В. Термодинамика. Статистическая механика / Отв. ред. Д. Н. Зубарев. — М. : Наука, 1982. — 584 с. — (Классики науки).
• Глаголев К. В., Морозов А. Н. Физическая термодинамика. — 2-е изд., испр. — М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2007. — 270 с. — (Физика в техническом университете). — ISBN 978-5-7038-3026-0 .
• Глазов В. М. Основы физической химии. — М. : Высшая школа, 1981. — 456 с.
• Гуггенгейм. Современная термодинамика, изложенная по методу У. Гиббса / Пер. под ред. проф. С. А. Щукарева. — Л. — М.: Госхимиздат, 1941. — 188 с.
• Дырдин В. В., Мальшин А. А., Янина Т. И., Ёлкин И. С. Термодинамика: Учебное пособие. — Кемерово: Изд-во КузГТУ, 2005. — 148 с. — ISBN 5-89070-482-6 .
• Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы. — М. : Мир, 1974. — 304 с.
• Жилин П. А. Рациональная механика сплошных сред. — 2-е изд. — СПб. : Изд-во Политехн. ун-та, 2012. — 584 с. — ISBN 978-5-7422-3248-3 .
• Зубарев Д. Н. (рус.) // Физическая энциклопедия. — Советская энциклопедия , 1988. — Т. 1 . — С. 292 .
• Каратеодори К. Об основах термодинамики (рус.) // Развитие современной физики. — Наука, 1964.
• Карно С. , Клаузиус, Р. , Томсон У. (лорд Кельвин) и др. Второе начало термодинамики / Под ред. А. К. Тимирязева . — 4-е изд. — М. : Либроком, 2012. — 312 с. — (Физико-математическое наследие: физика (термодинамика и статистическая механика)). — ISBN 978-5-397-02688-8 .
• Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1: Теория равновесных систем: Термодинамика. — 2-е изд., сущ. перераб. и доп. — М. : Едиториал УРСС, 2002. — 240 с. — ISBN 5-354-00077-7 .
• Кричевский И. Р. Понятия и основы термодинамики. — 2-е изд., пересмотр. и доп. — М. : Химия, 1970. — 440 с.
• В. И. Крутов , Исаев С. И., Кожинов И. А. и др. Техническая термодинамика / Под. ред. В. И. Крутова . — 3-е изд., перераб. и доп. — М. : Высшая школа , 1991. — 384 с. — ISBN 5-06-002045-2 .
• Кубо Р. Термодинамика. — М. : Мир, 1970. — 304 с.
• Лопаткин А. А. (рус.) // Большая советская энциклопедия , 3-е изд. — Советская энциклопедия , 1971. — Т. 5 . — С. 167 .
• Мюнстер А. Химическая термодинамика / Пер. с нем. под. ред. чл.-корр. АН СССР Я. И. Герасимова . — 2-е изд., стер. — М. : УРСС, 2002. — 296 с. — ISBN 5-354-00217-6 .
• Пальмов В. А. Фундаментальные законы природы в нелинейной термомеханике деформируемых тел. — СПб. : Изд-во СПбГПУ, 2008. — 143 с.
• Полторак О. М. Термодинамика в физической химии. — М. : Высшая школа, 1991. — 320 с. — ISBN 5-06-002041-X .
• Пуанкаре А. О науке / Пер. с фр. Под ред. Л. С. Понтрягина . — 2-е изд., стер. — М. : Наука , 1990. — 736 с. — ISBN 5-02-014328-6 .
• Путилов К. А. Термодинамика / Отв. ред. М. Х. Карапетьянц. — М. : Наука, 1971. — 376 с.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — 5-е изд., испр. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 544 с. — ISBN 5-9221-0601-5 .
• Сычёв В. В. Сложные термодинамические системы. — 5-е изд., перераб. и доп.. — М. : Издательский дом МЭИ, 2009. — 296 с. — ISBN 978-5-383-00418-0 .
• Фейнман Р. Ф. , Лейтон Р. Б., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 1, 2. Современная наука о природе. Законы механики. Пространство. Время. Движение / Пер. с англ. под ред. Я. А. Смородинского . — 8-е изд., сущ. испр. — М. : УРСС ; Либроком , 2011. — 439 с. — ISBN 978-5-453-00021-0 (УРСС), 978-5-397-02133-3 (Либроком).
• Физика. Большой энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров . — М. : Большая Российская энциклопедия , 1998. — 944 с. — ISBN 5-85270-306-0 .
• Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров . — М. : Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова — Длинные. — 704 с.
• Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров . — М. : Большая Российская энциклопедия , 1998. — Т. 5: Стробоскопические приборы — Яркость. — 760 с. — ISBN 5-85270-101-7 .
• Хазен А. М. Разум природы и разум человека. — М. : РИО «Мособлполиграфиздата»; НТЦ «Университетский», 2000. — 600 с. — ISBN 5-7953-0044-6 .
• Хачкурузов Г. А. Основы общей и химической термодинамики. — М. : Высшая школа, 1979. — 268 с.
• Химическая энциклопедия / Гл. ред. Н. С. Зефиров . — М. : Большая Российская энциклопедия , 1995. — Т. 4: Пол — Три. — 640 с. — ISBN 5-85270-092-4 .
• Шамбадаль П. Развитие и приложение понятия энтропии / Пер. с франц. — М. : Наука, 1967. — 279 с.