Надбарье́рное отраже́ние — термин, употребляемый в квантовой механике для описания невозможного в классической физике явления отражения движущейся частицы от потенциального барьера , максимальная высота которого ${\displaystyle U_{max}}$ меньше полной энергии частицы ${\displaystyle E}$ . Коэффициент отражения определяется формой барьера (в одномерном случае ${\displaystyle U(x)}$ ), а также энергией и массой частицы. При этом коэффициент прохождения оказывается меньше единицы. Аналогичный эффект имеет место при прохождении частицы над потенциальной ступенькой или квантовой ямой .

Подход к рассмотрению

Независимо от профиля потенциала ${\displaystyle U(x)}$ движение частицы рассматривается с использованием стационарного уравнения Шрёдингера . Принимается, что частица движется слева направо (вдоль оси ${\displaystyle x}$ ), потенциал на большом расстоянии слева от барьера равен нулю, а справа ${\displaystyle V_{0}}$ (возможно, ${\displaystyle V_{0}}$ тоже равно нулю). В таком случае волновые функции слева и справа от барьера представляют собой плоские волны вида:

${\displaystyle \psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,\,}$ (далеко слева),

${\displaystyle \psi _{2}(x)=te^{ik_{2}x}\,\,}$ (далеко справа).

${\displaystyle k_{1}={\sqrt {\frac {2m_{1}E}{\hbar ^{2}}}}}$ и ${\displaystyle k_{2}={\sqrt {\frac {2m_{2}(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}}}$ — модули волновых векторов.

Масса ${\displaystyle m}$ , вообще говоря, может различаться по областям, почему её символ и снабжён дополнительным индексом; ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка.

Если профиль ${\displaystyle U(x)}$ содержит резкие скачки, то на всех границах должно выполняться условие «сшивки» волновой функции ${\displaystyle \psi }$ и токов вероятности ; последнее требует обеспечения непрерывности величины ${\displaystyle \psi ^{'}/m}$ .

В процессе решения уравнения Шрёдингера определяются неизвестные константы ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle t}$ , с использованием которых далее находятся коэффициенты отражения и прохождения:

${\displaystyle R=|r|^{2},\qquad T={\frac {k_{2}m_{1}}{m_{2}k_{1}}}|t|^{2}}$ .

Ниже представлены результаты такого рассмотрения для нескольких систем.

Примеры

Скачок потенциальной энергии

Задача о переходе частицы, без изменения её массы, в область с другой потенциальной энергией ${\displaystyle V_{0}=V}$ , имеет следующее решение:

${\displaystyle r={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}},\qquad t={\frac {2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}}}$ .

Коэффициенты отражения и прохождения составляют

${\displaystyle R=\left({\frac {1-{\sqrt {1-V/E}}}{1+{\sqrt {1-V/E}}}}\right)^{2},\quad T={\frac {4{\sqrt {1-V/E}}}{\left(1+{\sqrt {1-V/E}}\right)^{2}}}}$ .

Коэффициент отражения имеет конечное значение, но при стремлении ${\displaystyle E}$ к бесконечности он стремится к нулю.

Прямоугольный потенциальный барьер

В случае прямоугольного барьера потенциал по обе его стороны нулевой (и ${\displaystyle V_{0}=0}$ ). Условия сшивки действуют на двух границах: при ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle x=a}$ . Волновые векторы слева-справа и в барьере составляют

${\displaystyle k_{1}=k_{2}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}},\qquad k_{b}={\sqrt {\frac {2m(E-V)}{\hbar ^{2}}}}}$ .

Результат для коэффициентов отражения и прохождения:

${\displaystyle R=1-T,\qquad T={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}-k_{b}^{2})^{2}}{4k_{1}^{2}k_{b}^{2}}}\sin ^{2}{k_{b}a}}}}$ .

При ${\displaystyle E>V}$ коэффициент отражения в общем случае отличен от нуля. Но при определённых энергиях ${\displaystyle E}$ становится ${\displaystyle R=0}$ из-за обнуления синуса.

Изменение эффективной массы

В данном случае коэффициенты ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle t}$ рассчитываются по формулам:

${\displaystyle r={\frac {{\sqrt {m_{1}}}-{\sqrt {m_{2}}}}{{\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt {m_{2}}}}},\qquad t={\frac {2{\sqrt {m_{1}}}}{{\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt {m_{2}}}}}}$ .

Соответственно, коэффициенты отражения и прохождения составят

${\displaystyle R=\left({\frac {{\sqrt {m_{1}}}-{\sqrt {m_{2}}}}{{\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt {m_{2}}}}}\right)^{2},\qquad T={\frac {4{\sqrt {m_{1}m_{2}}}}{\left({\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt {m_{2}}}\right)^{2}}}}$ .

При равенстве эффективных масс нет никакого отражения.

Бесконечная квантовая яма

Дельтообразная квантовая яма — это потенциал вида ${\displaystyle U(x)=\lambda /m\cdot \delta (x)}$ , где ${\displaystyle \lambda ={\mbox{const}}<0}$ .

Примечание: при наличии ${\displaystyle \delta }$ -функциональных особенностей потенциала несколько изменяются условия сшивки производных, вытекающие из требования непрерывности тока, см. конкретнее .

Коэффициенты отражения и прохождения для такой ямы составляют

${\displaystyle R=|r|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {2m\hbar ^{2}E}{\lambda ^{2}}}}},\qquad T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}E}}}}}$ .

Получается, что отражение частицы возможно при её надъямном движении с любой энергией ${\displaystyle E}$ , хотя при повышении энергии вероятность отражения снижается.

Практическая релевантность

Все типы структур, представленные выше, встречаются или могут быть созданы на практике. В технологии полупроводниковых гетероструктур есть возможность получения многослойных систем с различными материалами. Поскольку возможности варьирования комбинаций материалов достаточно широки, вполне реально получение желаемых высот барьеров (от долей эВ до нескольких эВ) и величин эффективной массы . Соответственно, роль профиля потенциала ${\displaystyle U(x)}$ будет играть профиль зоны проводимости ${\displaystyle E_{c}(x)}$ .

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М. : Наука , 1989 . — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5 .
• Флюгге З. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.