Абсолютная группа Галуа ${\displaystyle G_{K}}$ поля ${\displaystyle K}$ — группа Галуа ${\displaystyle K^{sep}}$ над ${\displaystyle K}$ , где ${\displaystyle K^{sep}}$ — ${\displaystyle K}$ . Также определяется как группа всех автоморфизмов алгебраического замыкания поля ${\displaystyle K}$ , которые оставляют ${\displaystyle K}$ неподвижным. Абсолютная группа Галуа уникальна с точностью до изоморфизма. Является проконечной группой .

(Если ${\displaystyle K}$ — совершенное поле , ${\displaystyle K^{sep}}$ совпадает с алгебраическим замыканием ${\displaystyle K^{alg}}$ поля ${\displaystyle K}$ . Например, это верно для полей характеристики 0 и конечных полей .)

Примеры

• Абсолютная группа Галуа алгебраически замкнутого поля тривиальна.
• Абсолютная группа Галуа действительных чисел — циклическая группа, состоящая из двух элементов (комплексного сопряжения и тождественного отображения), так как ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — сепарабельное замыкание ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2}$ .
• Абсолютная группа Галуа конечного поля ${\displaystyle K}$ изоморфна группе ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .}$ Здесь ${\displaystyle \varprojlim }$ — проективный предел .

Автоморфизм Фробениуса ${\displaystyle Fr}$ — канонический (топологический) генератор ${\displaystyle G_{K}}$ ( ${\displaystyle Fr(x)=x^{q}}$ , где ${\displaystyle q}$ — число элементов в ${\displaystyle K}$ ).

• Абсолютная группа Галуа поля рациональных функций с комплексными коэффициентами является свободной проконечной группой .
• В более общем случае, пусть ${\displaystyle C}$ — алгебраически замкнутое поле и ${\displaystyle x}$ — переменная. Тогда абсолютная группа Галуа поля ${\displaystyle K=C(x)}$ — свободная группа ранга равного мощности ${\displaystyle C}$ .
• Пусть ${\displaystyle K}$ — конечное расширение p-адических чисел ${\displaystyle Q_{p}}$ . Для ${\displaystyle p\neq 2}$ , его абсолютная группа Галуа порождается ${\displaystyle [K:Q_{p}]+3}$ элементами и имеет явное описание в терминах образующих и соотношений.
• Абсолютная группа Галуа определена для наибольшего чисто вещественного подполя поля алгебраических чисел.

Открытые проблемы

• Неизвестно явное описание абсолютной группы Галуа рациональных чисел . В этом случае из теоремы Белого следует, что абсолютная группа Галуа имеет эффективное действие на Гротендика , что позволяет представить в наглядном виде теорию Галуа полей алгебраических чисел .
• Гипотеза Шафаревича утверждает, что абсолютная группа Галуа максимального абелева расширения рациональных чисел — свободная проконечная группа.

Примечания