Гравитацио́нная неусто́йчивость (неустойчивость Джинса ) — нарастание со временем пространственных флуктуаций скорости и плотности вещества под действием сил тяготения (гравитационных возмущений).

Гравитационная неустойчивость ведёт к образованию неоднородностей (сгустков) в первоначально однородной среде и сопровождается уменьшением гравитационной энергии системы, переходящей в кинетическую энергию сжимающегося вещества, которая, в свою очередь, может переходить в тепловую энергию и излучение .

Гравитационная неустойчивость играет главную роль в ряде фундаментальных физических процессов во Вселенной : от физики аккреционных дисков , процессов звездообразования , зарождения планетных систем , галактик и их скоплений до формирования крупномасштабной структуры Вселенной .

История

Идея о гравитационной нестабильности однородной среды была впервые высказана Исааком Ньютоном в переписке с Ричардом Бентли в 1692—1693 годах, причём Ньютон высказал предположение, что такая неустойчивость может являться причиной звёздообразования и формирования планет :

«Однако материя при падении могла бы собираться в множество круглых масс, наподобие тел планет, а те, притягивая друг друга, могли бы обрести наклонность спуска и в результате падать не на большое центральное тело, а в стороне от него, и, описав вокруг него полукруг, снова начать подниматься теми же шагами и ступенями движения и скорости, какими до того они опускались, на манер комет, обращающихся вокруг Солнца.»

Разработка количественной теории гравитационной неустойчивости началась работами Джеймса Джинса , рассмотревшего в статье «Стабильность сферической туманности» (1902 г.) количественную теорию гравитационной нестабильности самотяготеющего газового облака . В дальнейшем теория гравитационной неустойчивости была расширена как на различные типы противодействующих самогравитации сил (давление газа и излучения, магнитные поля, центробежные силы во вращающихся системах), так и на различные геометрические конфигурации: однородную среду (проблема происхождения галактик и скоплений), плоский слой, осесимметричные системы с неоднородностями по радиусу, диски.

Теория гравитационной неустойчивости Джинса

Качественно гравитационная неустойчивость объясняется тем, что силам тяготения газового облака противодействует упругость газа ( градиент давления газа, сила барического градиента ), при этом силы тяготения прямо пропорциональны размеру газового облака, а сила барического градиента — обратно пропорциональна его размеру. Следствием этого является существование критического размера газового облака (или сгустка в газовом облаке) ${\displaystyle r_{crit}}$ , ниже которого силы упругости преобладают над силами гравитации и облако рассеивается. Расширение сгустка повышенной плотности в окружающие его области приводит к возникновению колебаний, распространяющихся со скоростью звука в окружающую его газовую среду. В свою очередь, когда размер облака превышает ${\displaystyle r_{crit}}$ , преобладающей становится сила тяготения и облако сжимается. Таким образом, газовая среда устойчива по отношению к конденсации в небольшие сгустки и неустойчива по отношению к распаду на сгустки больши́х размеров.

Джинс рассмотрел случай равномерно распределённого в пространстве покоящегося газа, давление которого везде постоянно.

Если выделить в таком пространстве сферическую область радиусом ${\displaystyle r}$ и предположить, что эта область претерпела сжатие с начального объёма ${\displaystyle V}$ до объёма ${\displaystyle (1-\alpha )V}$ , где ${\displaystyle \alpha \ll 1}$ , то пертурбация плотности ${\displaystyle \delta \rho \approx \alpha \rho _{0}}$ и пертурбация давления — ${\displaystyle \delta p\approx {\frac {dp}{d\rho _{0}}}\alpha \rho _{0}}$ .

Пертурбация давления определяется адиабатической сжимаемостью газа, и, с учётом соотношения скорости звука ${\displaystyle a_{s}}$ и адиабатической сжимаемости при данной плотности, может быть выражена через скорость звука: ${\displaystyle \delta p\approx \alpha {a_{s}}^{2}\rho _{0}}$ .

Если перейти к силам на единицу массы, то дополнительная сила упругости ${\displaystyle F_{p}}$ , обусловленная пертурбацией давления ${\displaystyle \delta p}$ :

${\displaystyle F_{p}=\nabla (\delta p)/\rho _{0}\approx \delta p/(\rho _{0}r)\approx \alpha {a_{s}}^{2}/r}$

(в приближении градиента давления ${\displaystyle 1/r}$ ).

В то же время дополнительная сила тяготения ${\displaystyle F_{G}}$ , обусловленная пертурбацией плотности для массы, заключённой в рассматриваемом объёме ${\displaystyle M={\frac {4}{3}}\pi \rho _{o}r^{3}}$ :

${\displaystyle F_{G}\approx GM\alpha /r^{2}\approx G\rho _{0}r\alpha }$ .

Если сравнить зависимость значения ${\displaystyle F_{G}}$ и ${\displaystyle F_{p}}$ от масштаба, то оказывается, что гравитационные силы пропорциональны размеру ${\displaystyle r}$ газового сгустка, в то время как силы упругости, определяемые градиентом давления в газе, пропорциональны ${\displaystyle 1/r}$ . Вследствие этого при больших ${\displaystyle r}$ сила тяготения преобладает над силами упругости и сгусток сжимается. При небольших размерах сгустка картина обратная: силы упругости преобладают над силами тяготения — и при флуктуациях плотности небольшого размера образовавшиеся сгустки расширяются, порождая колебания, распространяющиеся со скоростью звука в среде, то есть силы давления газа не могут компенсировать силы тяготения в однородной среде при достаточно больших масштабах .

Таким образом, для заданных параметров изотропной упругой среды (с учётом только давления газа) существует критический размер ${\displaystyle r_{crit}}$ области, для которого ${\displaystyle F_{G}=F_{p}}$ ; в областях размера ниже критического возмущения релаксируют , а выше которого — усиливаются — длина волны Джинса:

${\displaystyle r_{crit}\approx a_{s}{\sqrt {\frac {\pi }{G\rho }}}}$ ,

где ${\displaystyle a_{s}}$ — скорость звука в среде и ${\displaystyle \rho }$ — плотность среды.

В пределе для ${\displaystyle r\ggg r_{crit}}$ упругость газа пренебрежимо мала по сравнению с силами тяготения и сжатие приобретает характер свободного падения к центру конденсации. Возмущения больших масштабов ${\displaystyle r\gg r_{crit}}$ нарастают во времени экспоненциально ${\displaystyle \sim \exp(\omega t)}$ , скорость возмущения зависит от плотности среды ${\displaystyle \omega \sim {\sqrt {G\rho }}}$ .

Масса Джинса и процессы звездообразования

С длиной волны Джинса связана и масса Джинса — масса, заключённая в объёме ${\displaystyle r_{crit}}$ :

${\displaystyle M_{j}\sim \rho r_{crit}^{3}}$

Этот параметр имеет важное значение в рассмотрении процесса звездообразования в межзвёздных газопылевых облаках; масса Джинса определяет верхний предел стабильности таких облаков. В случае массивных облаков, то есть если масса облака существенно превышает массу Джинса, вследствие усиления флуктуаций плотности образуются области конденсации, начинающие коллапсировать независимо — происходит фрагментация облака.

Вместе с тем, поскольку длина волны Джинса зависит от скорости звука в среде, в свою очередь являющейся функцией температуры ${\displaystyle a_{s}\sim (kT/m)^{1/2}}$ , масса Джинса зависит от температуры среды:

${\displaystyle M_{j}\sim \rho r_{crit}^{3}\sim \rho ({\frac {kT}{G\rho m}})^{3/2}\propto T^{3/2}\rho ^{-1/2},}$

где ${\displaystyle m}$ — молекулярная масса;

${\displaystyle T}$ — температура;

${\displaystyle k}$ — постоянная Больцмана .

Эта зависимость массы Джинса от температуры и плотности во многом определяет дальнейшую эволюцию коллапса фрагментов. Судьба выделяющейся при гравитационном коллапсе энергии зависит от оптических свойств коллапсирующего фрагмента: в случае, когда фрагмент прозрачен, энергия из коллапсирующей области эффективно уносится излучением — особенно в случае наличия в составе облака пылевых частиц либо относительно тяжёлых атомов (углерод), переизлучающих в инфракрасной области и являющихся вследствие этого эффективным «холодильником». Сжатие таких прозрачных фрагментов становится неадиабатическим и протекает в режиме, близком к изотермическому .

Поскольку масса Джинса с ростом плотности уменьшается ( ${\displaystyle M_{j}\propto \rho ^{-1/2}}$ ), то в таком «охлаждаемом» фрагменте или облаке, в свою очередь, могут образовываться новые области конденсации — этот механизм ответственен за «массовое» звездообразование с формированием звёздных ассоциаций .

При дальнейшем сжатии с ростом плотности и потере прозрачности сжатие становится адиабатическим, температура начинает расти, что, в свою очередь, ведёт к увеличению при данной плотности массы Джинса и предотвращению дальнейшей фрагментации образующейся протозвезды .

Гравитационная неустойчивость в космологии

В общем случае поведение идеального газа с плотностью ${\displaystyle \rho }$ , давлением ${\displaystyle p}$ , удельной энтропией ${\displaystyle S}$ и полем скоростей ${\displaystyle \mathbf {v} }$ в поле тяготения ${\displaystyle \varphi }$ описывается уравнением Пуассона :

${\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =4\pi G\rho ,}$

где ${\displaystyle \varphi }$ — гравитационный потенциал ;

${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная ,

уравнением Эйлера :

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {v} +{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nabla \varphi =\mathbf {0} }$

(уравнение движения идеальной сжимаемой жидкости или газа в поле тяготения),

уравнением непрерывности потока :

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} )=0.}$

Энтропия при этом постоянна (адиабатический или изоэнтропический процесс при условии отсутствия ударных волн):

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}+\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)S=0.}$

В начальном, невозмущённом состоянии, газ находится в состоянии покоя ${\displaystyle \mathbf {v} =0}$ , однороден ${\displaystyle \rho =\rho _{0}=const}$ , ${\displaystyle S=S_{0}=const}$ и его давление одинаково во всем пространстве ${\displaystyle p=p(\rho _{0},S_{0})=const}$ .

Серьёзным затруднением в допущении Джинса являлось то, что из уравнения Эйлера при нулевых скоростях и градиентах давления следует, что для гравитационного потенциала ${\displaystyle \nabla \varphi _{0}=\mathbf {0} }$ , в то время как уравнение Пуассона требует ${\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi _{0}=4\pi G\rho }$ — что выполнимо лишь при ${\displaystyle \rho _{0}=0}$ (см. также гравитационный парадокс ).

Физическим смыслом этого противоречия является то, что бесконечная изотропная среда, заполненная газом, не может находиться в статическом равновесии .

Вместе с тем при переменной плотности это противоречие снимается, то есть однородное решение должно быть нестационарным, с изменяющейся во времени плотностью — в случае, когда плотность является функцией времени и определяется космологическими параметрами, решение Джинса может служить достаточно хорошим приближением в нестационарной космологической модели, в которой расширение или сжатие однородно заполняющей пространство материи происходит в соответствии с законом Хаббла .

В отличие от стационарного решения Джинса, в нестационарных моделях изменение со временем плотности и скорости звука ведёт к изменению длины волны Джинса и в этом случае возмущения среднего масштаба растут уже не по экспоненциальному, а по степенному закону. Во Вселенной с доминированием нерелятивистского вещества (давление значительно меньше плотности кинетической энергии) возмущения плотности при её расширении растут по закону ${\displaystyle \delta \rho /\rho \sim t^{2/3}}$ , при сжатии — по закону ${\displaystyle \delta \rho /\rho \sim t^{-1}}$ ; во Вселенной с доминированием релятивистского вещества (давление порядка плотности кинетической энергии) возмущения плотности при расширении растут по закону ${\displaystyle \delta \rho /\rho \sim t}$ .

Если в настоящее время плотность определяется нерелятивистским веществом, то, согласно модели горячей Вселенной на начальных стадиях расширения плотность определялась ультрарелятивистским веществом и любые флуктуации плотности вследствие гравитационной неустойчивости должны были усиливаться по закону ${\displaystyle \delta \rho /\rho \sim t}$ . Однако в этом случае уже на ранних стадиях расширения должны возникнуть крупномасштабные неоднородности, существенно нарушающие относительную изотропность распределения материи во Вселенной, что не согласуется с наблюдаемой картиной изотропности реликтового излучения . Эта проблема решается в рамках инфляционной модели Вселенной со стадией экспоненциального расширения — неоднородности вследствие гравитационной неустойчивости, ведущие к образованию иерархической крупномасштабной структуры Вселенной , развиваются по окончании инфляционной стадии.

Проблема происхождения вращения в космологии

Наблюдаемое вещество во Вселенной (галактики, звёздные скопления, звёзды, планетарные системы и планеты), находится, как правило, во вращении. Объяснение происхождения такого вращения сталкивается с серьёзными трудностями. В теории Джинса гравитационная неустойчивость приводит к росту только продольных (безвихревых) возмущений. Вследствие этого возникло предположение, что вращение вещества во Вселенной существовало изначально («гипотеза фотонных вихрей»), а наблюдаемое в настоящее время вращение галактик рассматривается как реликтовое, доставшееся по наследству от фотонных вихрей . Наряду с такой гипотезой, выглядящей довольно искусственной, выдвигалась идея возникновения вращения протогалактик в результате действия приливных сил . Согласно «ударной теории» вращение галактик могло стать результатом взаимодействия асимметричных протогалактик с ударной волной, которая должна возникнуть в момент рекомбинации в остывающей Вселенной .

Трудность решения проблемы происхождения вращения во Вселенной является прямым следствием теоремы Гельмгольца-Кельвина , согласно которой изначально безвихревое движение идеального газа не может стать вихревым в результате действия потенциальной силы гравитации (см. уравнение вихря ). Однако оказалось, что в турбулентном газе такой запрет отсутствует . В этой связи возникла потребность пересмотра теории Джинса, в результате чего в проблеме происхождения вращения объектов во Вселенной возникло новое направление .

См. также

• Неустойчивость Рэлея — Тейлора
• Механизм Кельвина — Гельмгольца
• Уравнение вихря
• Масса Боннора – Эберта

Примечания

Литература

• Зельдович Я. Б. , Новиков И. Д. Строение и эволюция вселенной. М.: Наука, 1975.— 735 с.
• / Дорошкевич А. Г. // / Редкол.: Р. А. Сюняев (Гл. ред.) и др. — 2-е изд. — М. : Советская энциклопедия , 1986. — С. 218—220. — 783 с. — 70 000 экз.
• ISBN 0-691-08445-9
• Longair, Malcolm S. Galaxy Formation. — Berlin: Springer, 1998. — ISBN 3-540-63785-0 .
• Clarke, Cathie; Carswell, Bob. Astrophysical Fluid Dynamics. — Cambridge: Cambridge University Press , 2007. — ISBN 978-0-521-85331-6 .

Ссылки

• в Физической энциклопедии
• Jeans, J. H. The Stability of a Spherical Nebula (англ.) // (англ.) ( : journal. — 1902. — Vol. 199 , no. 312—320 . — P. 1—53 . — doi : . — Bibcode : . — JSTOR .