У́гол паралле́льности в геометрии Лобачевского — угол между перпендикуляром к данной прямой и асимптотически параллельной прямой , проведённой из точки, не лежащей на данной прямой.

В евклидовой геометрии угол параллельности всегда прямой.

В геометрии Лобачевского , угол параллельности всегда острый. На плоскости Лобачевского с кривизной −1 угол параллельности для точки на расстоянии ${\displaystyle a}$ от прямой обычно обозначается ${\displaystyle \Pi (a)}$ .

Свойства и соотношения

• ${\displaystyle \Pi (a)}$ является острым углом при катете, равном ${\displaystyle a}$ , в прямоугольном гиперболическом треугольнике, который имеет две асимптотические параллельные стороны.
• ${\displaystyle \lim _{a\to 0}\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi \quad {\text{ и }}\quad \lim _{a\to \infty }\Pi (a)=0.}$

• ${\displaystyle \sin \Pi (a)=\operatorname {sech} a={\frac {1}{\operatorname {ch} a}}={\frac {2}{e^{a}+e^{-a}}}\ ,}$

• ${\displaystyle \cos \Pi (a)=\operatorname {th} a={\frac {e^{a}-e^{-a}}{e^{a}+e^{-a}}}\ ,}$

• ${\displaystyle \operatorname {\rm {tg}} \Pi (a)=\operatorname {csch} a={\frac {1}{\operatorname {sh} a}}={\frac {2}{e^{a}-e^{-a}}}}$

• ${\displaystyle \operatorname {\rm {tg}} \left({\tfrac {1}{2}}\cdot \Pi (a)\right)=e^{-a},}$

• ${\displaystyle \Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi -\operatorname {gd} (a),}$

где sh, ch, th, sech и csch — гиперболические функции , а gd — функция Гудермана .

История

Угол параллельности рассматривался Лобачевским . В частности, он вывел соотношение

${\displaystyle \operatorname {\rm {ctg}} \left({\tfrac {1}{2}}\cdot \Pi (a)\right)=e^{a}.}$

Ссылки

Литература

• Д. Мордухай-Болтовской . (рус.) // In mem. Lobatschevskii. — 1927. — Т. 2 . — С. 67–82 .
• Лобачевский, Николай Иванович . . — М. — Л. : изд-во Академии Наук СССР, 1945. — 176 с.