Прямая Александрова (или длинная прямая ) — топологическое пространство , один из основных контрпримеров, используемых в топологии : обычная вещественная прямая состоит из счётного числа отрезков ${\displaystyle [0,1)}$ , расположенных друг за другом, а прямая Александрова строится из несчётного числа таких отрезков. Построена Павлом Александровым в 1924 году .

Замкнутая прямая Александрова ${\displaystyle L}$ определяется как декартово произведение первого несчётного ординала ${\displaystyle \omega _{1}}$ и полуинтервала ${\displaystyle [0,1)}$ , снабжённое топологией порядка (то есть её база — интервалы ${\displaystyle \{x\mid a<x<b\}}$ ), индуцированной лексикографическим порядком на ${\displaystyle \omega _{1}\times [0,1)}$ . Открытая прямая получается удалением наименьшего элемента ${\displaystyle (0,0)}$ .

Прямая Александрова равномощна вещественной прямой и является нормальным пространством , как и любое пространство с топологией порядка, однако обладает рядом необычных свойств. В частности, её топология неметризуема , она секвенциально компактна , но не компактна, линейно связна , локально связна и односвязна , но не стягиваема . Более того, прямая Александрова имеет структуру несепарабельного топологического многообразия , несмотря на непаракомпактность , и удовлетворяет первой аксиоме счётности , но не второй . На ней также можно ввести структуру дифференцируемого и даже аналитического многообразия.

Примечания