Корректно поставленная задача в математике — прикладная задача, математическое решение которой существует, единственно и устойчиво . Происходит от определения, данного Жаком Адамаром , согласно которому математические модели физических явлений должны иметь следующие свойства:

1. Решение существует.
2. Решение единственно.
3. Решение непрерывно зависит от данных в некоторой разумной топологии .

Некорректно поставленная задача — задача, не обладающая каким-либо из свойств корректно поставленной задачи.

Примерами типичных корректно поставленных задач являются задача Дирихле для уравнения Лапласа и уравнение диффузии с заданными начальными условиями . Они могут рассматриваться как «естественные» задачи — в том смысле, что существуют физические процессы, описываемые решениями данных задач. С другой стороны, обратная задача для уравнения диффузии — нахождение предыдущего распределения температуры по конечным данным — не является корректно поставленной, потому как её решение очень чувствительно к изменениям конечных данных.

Некорректно поставленными весьма часто оказываются обратные задачи . Подобные непрерывные задачи часто приходится дискретизировать , чтобы получить численное решение. Несмотря на то, что с точки зрения функционального анализа такие задачи обычно являются непрерывными, они могут быть подвержены неустойчивости численного решения при вычислениях с конечной точностью или при ошибках в данных. Некорректные задачи могут возникать при обработке геофизических , геологических , астрономических наблюдений, при решении проблем оптимального управления и планирования.

Даже если задача является корректно поставленной, она всё ещё может быть плохо обусловленной , то есть небольшая ошибка в начальных данных способна привести к много бо́льшим ошибкам в решениях. Плохо обусловленные задачи отличаются больши́м числом обусловленности .

Если задача корректно поставлена, то имеется неплохой шанс её численного решения с использованием устойчивого алгоритма . Если же задача поставлена некорректно, то её постановку нужно изменить; обычно для этого вводятся некоторые дополнительные предположения (такие, как предположение о гладкости решения). Данная процедура называется регуляризацией , причём наиболее широко используется регуляризация Тихонова , применимая к линейным некорректно поставленным задачам.

Примечания

Литература

• Hadamard, Jacques. Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique (фр.) . — Princeton University Bulletin. — 1902. — С. 49—52.
• (англ.) / Parker, Sybil B.. — 4th. — New York: McGraw-Hill Education , 1989. — ISBN 0070452709 .
• Tikhonov, A. N.; Arsenin, V. Y. Solutions of Ill-Posed Problems (неопр.) . — New York: Winston, 1977. — ISBN 0470991240 .
• Лаврентьев М. М. , Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. — М.: Наука, 1980.
• Тихонов А. Н. , Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1974.
• Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. — М.: Наука, 1978.
• Тихонов А. Н. , Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. — М.: Наука, 1995. — ISBN 5-02-014582-3 .