Универсальность Фейгенбаума , или универсальность Фейгенбаума — Кулле — Трессера , — эффект в теории бифуркаций , заключающийся в том, что определённые числовые характеристики каскада в однопараметрическом семействе при переходе от регулярного поведения к хаотическому оказываются не зависящими от выбора конкретного семейства (и, тем самым, являются универсальными константами). Такими характеристиками оказываются, в частности, предел отношений соседних отрезков параметров между двумя бифуркациями удвоения периода (названный постоянной Фейгенбаума ${\displaystyle \delta }$ ) и хаусдорфова размерность аттрактора в конечной точке каскада.

Эффект был открыт в численных экспериментах М. Фейгенбаумом и одновременно и независимо П. Кулле и Ч. Трессером; как Фейгенбаум, так и Кулле и Трессер предложили объяснение этого эффекта через описание поведения оператора ренормализации. Обоснование такого поведения в случае унимодальных отображений было сначала получено в (строгой, но опирающемся на проведённые с помощью компьютера выкладки) работе О. Лэнфорда , а затем в использующих комплексную технику работах Д. Салливана , и .

Описание эффекта

Универсальность Фейгенбаума — Кулле — Трессера — эффект, который был открыт при изучении перехода от регулярного поведения к хаотичному в однопараметрических семействах , в частности, при исследовании семейства логистических отображений

${\displaystyle f_{\lambda }:[0,1]\to [0,1],\quad x\mapsto \lambda x(1-x)}$

и семейства

${\displaystyle g_{\mu }:[0,1]\to [0,1],x\mapsto \mu \sin \pi x.}$

А именно, в логистическом семействе отображений, при малых ${\displaystyle \lambda }$ аттрактором отображения оказывается единственная притягивающая неподвижная точка . При ${\displaystyle \lambda _{1}=3}$ происходит первая бифуркация удвоения периода, в результате которой неподвижная точка теряет устойчивость, и вместо неё аттрактором становится возникающая в этот момент притягивающая периодическая орбита периода 2. Эта орбита остаётся устойчивой при дальнейшем увеличении параметра вплоть до ${\displaystyle \lambda _{2}\approx 3{,}449}$ , после чего происходит следующая бифуркация удвоения периода, и аттрактором становится рождающаяся при ${\displaystyle \lambda =\lambda _{2}}$ периодическая орбита периода 4. В свою очередь, эта орбита при ${\displaystyle \lambda =\lambda _{3}\approx 3{,}544}$ теряет устойчивость, и аттрактором становится рождающаяся орбита периода 8, и так далее.

Эти значения накапливаются к некоторому значению ${\displaystyle \lambda _{*}=\lim _{n}\lambda _{n}}$ — концевой точке каскада бифуркаций. Выполняя численные эксперименты, Фейгенбаум обнаружил, что их накопление асимптотически выглядит как геометрическая прогрессия:

${\displaystyle \lambda _{*}-\lambda _{n}\sim C\delta ^{-n}.}$

Подобный сценарий перехода от регулярного поведения к хаотичному через каскад бифуркаций удвоения периода имеет место для любого семейства унимодальных отображений с отрицательной производной Шварца ; поставив эксперименты для другого однопараметрического семейства унимодальных отображений, ${\displaystyle g_{\mu }:x\mapsto \mu \sin \pi x,}$ Фейгенбаум обнаружил , что в этом случае моменты бифуркации ${\displaystyle \mu _{n}}$ накапливаются к предельному ${\displaystyle \mu _{*}}$ асимптотически как геометрическая прогрессия,

${\displaystyle \mu _{*}-\mu _{n}\sim C'\delta ^{-n},}$

причём с тем же, что и для логистического семейства, знаменателем ${\displaystyle \delta ^{-1}}$ . В связи с этим, он высказал гипотезу, что подобное поведение моментов бифуркации универсально — не зависит от выбора конкретного однопараметрического семейства; константа ${\displaystyle \delta \approx 4{,}669...}$ получила название постоянной Фейгенбаума .

Объяснение: ренормализация

Обоснование эффекта универсальности опирается на описание динамики преобразования ренормализации ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ на пространстве унимодальных отображений интервала ${\displaystyle [-1,\;1]}$ в себя. А именно, при определенных условиях на унимодальное отображение f можно выделить интервал, который за две итерации отображается в себя, и отображение первого возвращения на который также будет унимодальным. Линейная смена масштаба после этого позволяет рассмотреть отображение первого возвращения опять как отображение исходного интервала ${\displaystyle [-1,\;1]}$ в себя; такое преобразование, сопоставляющее исходному отображению проитерированное со сменой масштаба, и называется ренормализацией.

Предложенное Фейгенбаумом и Кулле — Трессером объяснение эффекта универсальности основывалось на том, что у преобразования ренормализации есть единственная неподвижная точка ${\displaystyle g}$ , тем самым, удовлетворяющая уравнению Фейгенбаума — Цитановича

${\displaystyle g(x)=-{\frac {1}{\alpha }}g(g(\alpha x)),}$

где ${\displaystyle \alpha }$ — константа перемасштабирования.

Эта неподвижная точка гиперболична, причём её неустойчивое многообразие одномерно, и пересекает поверхность в пространстве отображений, отвечающую бифуркации удвоения периода. Напротив того, устойчивое многообразие этой точки имеет коразмерность один (в бесконечномерном пространстве унимодальных отображений), и типичное однопараметрическое семейство отображений — в частности, квадратичное семейство — его трансверсально пересекает.

Тогда, асимптотическая скорость, с которой моменты бифуркаций удвоения периода ${\displaystyle \lambda _{n}}$ приближаются ${\displaystyle \lambda _{*}}$ к предельному — экспоненциальная, со знаменателем, обратным большему 1 собственному значению линеаризации ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ в точке ${\displaystyle g}$ . В частности, отсюда следует явление универсальности: эта скорость определяется большим 1 собственным значением, и не зависит от выбора индивидуального семейства.

Этот раздел не завершён . Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Доказательство гипотезы Фейгенбаума — Кулле — Трессера

Следствия

Открытые проблемы

История

В 1976 г. вышла работа Р. М. Мэя, исходной точкой которой служили вопросы популяционной динамики; в качестве математической модели рассматривались динамические системы на отрезке, соответствующие нескольким различным унимодальным отображениям, в том числе логистическому. Она мотивировала интерес к исследованию таких отображений и бифуркаций в их однопараметрических семействах, и в 1978 году М. Фейгенбаум и одновременно и независимо П. Кулле и Ч. Трессер обнаруживают в численных экспериментах эффект универсальности, и предлагают его объяснение через описание динамики оператора ренормализации.

Вскоре, в 1984 году, О. Лэнфорд строго доказывает данное свойство, однако его доказательство в существенной степени опирается на проведённые компьютерные вычисления.

Этот раздел не завершён . Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Ссылки

• , Springer Encyclopaedia of Mathematics .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• А. Авила на Международном конгрессе математиков , Хайдарабад, 2010.

Литература

• R. M. May, Simple mathematical models with very complicated dynamics, Nature 261 (1976), 459—467.
• P. Coullet, C. Tresser, , Journal de Physique Colloques 39:C5 (1978), pp. 25-28.
• C. Tresser and P. Coullet, Iterations d’endomorphismes et groupe de renormalisation, C. R. Acad. Sci. Paris 287A (1978), pp. 577—580.
• M. J. Feigenbaum, Quantitative universality for a class of nonlinear transformations, J. Statist. Phys. 19 (1978), 25-52.
• M. J. Ferigenbaum, The universal metric properties of nonlinear transformations, J. Statist. Phys. 21 (1979), 669—706.
• O. E. Lanford III, , Bull. AMS. 6 :3 (1984), pp. 427—434
• J.-P. Eckmann , Proceedings of the International Congress of Mathematicians , Berkeley, California, USA, 1986.
• M. Lyubich, , Annals of Mathematics , 149 (1999), pp. 319—420.
• J. Milnor , Self-similarity and hairiness in the Mandelbrot set, in Computers in Geometry and Topology, Lect. Notes in Pure and Appl Math. 114 (1989), 211—257
• Е. Б. Вул, Я. Г. Синай , К. М. Ханин, , УМН , 39 :3 (237) (1984), 3-37.
• В. И. Арнольд , Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, изд. 2-е.

Для улучшения этой статьи желательно : Проставить сноски , внести более точные указания на источники. Оформить статью по правилам . Добавить иллюстрации . После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.