Interested Article - Число Смита

Число Смита — такое составное число , сумма цифр которого (в некоторой системе счисления , обычно в десятичной ) равняется сумме цифр всех его простых сомножителей с учётом кратности. Так, примером числа Смита может служить 202 = 2 × 101, поскольку 2 + 0 + 2 = 4 , и 2 + 1 + 0 + 1 = 4 .

Первыми пятьюдесятью числами Смита являются :

4 , 22 , 27 , , 85 , , 121 , 166 , , , , , , , , , , , , , , , , , 576 , , , , , , , , , 666 , , , , 729 , , , , , , , , , , , , , , , …

В 1987 американский математик доказал, что существует бесконечно много чисел Смита. Количество чисел Смита, меньших 10 ⁿ для n =1,2,… равно :

1, 6, 49, 376, 3294, 29 928, 278 411, 2 632 758, 25 154 060, 241 882 509, …

История

Понятие чисел Смита было введено из Университета Лехай в 1982 . Просматривая свою телефонную книжку, математик обратил внимание на то, что телефонный номер его зятя Гарольда Смита (493-7775) обладал тем интересным свойством, что сумма его цифр равнялась сумме цифр всех его простых сомножителей. Число 4 937 775 раскладывается на простые сомножители следующим образом: 4 937 775 = 3 × 5 × 5 × 65 837. Сумма цифр телефонного номера равна 4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 42 , и сумма цифр его разложения на простые сомножители также равна 3 + 5 + 5 + 6 + 5 + 8 + 3 + 7 = 42 . Вилански назвал такой тип чисел по имени своего зятя. Так как этим свойством обладают все простые числа, Вилански не включил их в определение.

Свойства

Наибольшим известным числом Смита (по данным на 2005 ) является

9· R ₁₀₃₁ ·(10 ⁴⁵⁹⁴ +3·10 ²²⁹⁷ +1) ¹⁴⁷⁶ ·10 ^3913210 ,

где R ₁₀₃₁ = (10 ¹⁰³¹ −1)/9 — репьюнит .

Два последовательных натуральных числа, являющиеся числами Смита (например, 728 и 729, 2964 и 2965), называются близнецами Смита . В настоящее время неизвестно, бесконечно ли количество близнецов Смита. Аналогично определяются тройки, четверки и т. д. Смита. Начальным элементом наименьшей n -ки Смита для n =1,2,… являются :

4, 728, 73 615, 4 463 535, 15 966 114, 2 050 918 644, 164 736 913 905, …

Существует бесконечное количество чисел Смита, десятичная запись которых представляет палиндром (читается одинаково слева направо и справа налево).