В зависимости от конкретных приложений, обычно на линейные топологические пространства накладываются те или иные дополнительные условия. Ниже перечислены некоторые типы линейных топологических пространств, упорядоченных (с определённой степенью условности) по наличию у них «хороших» свойств.
Локально выпуклые топологические векторные пространства
(для краткости — просто «локально выпуклые пространства»): в таких пространствах каждая точка имеет
локальную базу
, состоящую из
выпуклых множеств
. С помощью так называемых
функционалов Минковского
можно показать, что топологическое векторное пространство является локально выпуклым тогда и только тогда, когда его топология определяется с помощью семейства
полунорм
. Условие локальной выпуклости долгое время являлось именно тем понятием, на основании которого только и может быть построена теория, богатая приложениями, ведь пространства, не являющиеся локально выпуклыми, могут обладать разнообразными патологическими свойствами, и их геометрия может быть слишком «неестественной» для приложений. Однако, в настоящее время теория
(в общем случае невыпуклых) начала активно развиваться.
Стереотипные пространства
: локально выпуклые пространства, удовлетворяющие условию
рефлексивности
, в котором сопряженное пространство наделяется топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах.
: локально выпуклые пространства, в которых непрерывные линейные операторы со значениями в локально выпуклых пространствах есть в точности ограниченные линейные операторы.
Пространства Фреше
: локально выпуклые пространства, топология которых задаётся некоторой инвариантной (относительно сдвигов) метрикой, или, что то же самое, счётным семейством полунорм. Понятие пространства Фреше представляет собой одно из важнейших обобщений понятия банахова пространства. Многие функциональные пространства, представляющие интерес, являются пространствами Фреше. Пространство Фреше можно определять также как локально выпуклое F-пространство.
: важный частный случай пространств Фреше; в ядерных пространствах каждое ограниченное отображение со значениями в произвольном банаховом пространстве является
ядерным оператором
. Ядерные пространства, наряду с банаховыми, являются пространствами Фреше, представляющими наибольший интерес. При этом классы ядерных и банаховых пространств в пересечении образуют класс конечномерных пространств.
Нормированные пространства
: локально выпуклые пространства, топология которых задаётся
нормой
. Линейные операторы, действующие в нормированных пространствах, непрерывны тогда и только тогда, когда они ограничены.
Банаховы пространства
: полные нормированные пространства. Они представляют собой объект изучения классического функционального анализа; большая часть теорем анализа формулируется именно для банаховых пространств.
Гильбертовы пространства
: банаховы пространства, норма которых порождается
скалярным произведением
; несмотря на то, что эти пространства могут быть и бесконечномерными, их геометрические свойства весьма близки к свойствам конечномерных пространств.
Евклидовы пространства
: конечномерные гильбертовы пространства. Всякое локально компактное хаусдорфово топологическое векторное пространство изоморфно (как топологическое векторное пространство) некоторому евклидову пространству.