Выражение
0⁰
(
ноль в нулевой степени
) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла
. Связано это с тем, что функция двух переменных
в точке
имеет неустранимый
разрыв
. В самом деле, вдоль положительного направления оси
где
она равна единице, а вдоль положительного направления оси
где
она равна нулю. Поэтому никакое соглашение о значении 0⁰ не может дать непрерывную в нуле функцию.
Содержание
Соглашение 0
0
= 1: аргументация сторонников
Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что
равно 1. В пользу подобного варианта приводятся несколько доводов. Например, разложение в ряд экспоненты:
можно записать короче, если принять
:
(рассматриваемое соглашение используется при
).
Другое обоснование соглашения
опирается на «Теорию множеств»
Бурбаки
: число различных отображений
n
-элементного множества в
m
-элементное равно
при
получаем отображение
пустого множества
в пустое, а оно единственно. Разумеется, это нельзя считать доказательством (соглашения не нуждаются в доказательствах), тем более что в самой теории множеств соглашение
не используется.
В любом случае соглашение
чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке, в противном случае может возникнуть ошибка. Пример для аналитических вычислений: функция
где
— произвольное положительное вещественное число. При
мы получаем
неопределённость
типа
и, если не отличать тип предела
(где каждый из нулей обозначает стремление к нулю) и значение
(где каждый из нулей и есть ноль), можно ошибочно посчитать, что предел равен 1. На самом деле данное выражение тождественно равно
Это означает, что бесконечно малая в бесконечно малой степени может в пределе дать любое значение, не обязательно единицу. Аналогичные ошибки могут быть сделаны, если использовать соглашение в алгебраических преобразованиях.
История различных точек зрения
Дискуссия по поводу определения
продолжается, по крайней мере, с начала XIX века. Многие математики тогда принимали соглашение
, но в 1821 году
Коши
причислил
к неопределённостям, таким, как
В 1830-х годах
опубликовал неубедительный аргумент в пользу
(см.
Функция Хевисайда § История
), и
Мёбиус
встал на его сторону, ошибочно заявив, что
всякий раз, когда
. Обозреватель, который подписал своё имя просто как «S», предоставил приведённый выше контрпример
, и это немного успокоило дебаты. Больше исторических деталей можно найти в статье
Кнута
(1992)
.
Более поздние авторы интерпретируют ситуацию выше по-разному. Часть математиков считает, что
должно быть определено как 1. Например,
Кнут
(1992) уверенно утверждает, что
«
должно
быть 1», делая различие между
значением
, которое должно равняться 1, как это было предложено Либри, и
предельной формой
(аббревиатура для предела
где
), что обязательно является неопределённостью, как указано Коши: «И Коши, и Либри были правы, но Либри и его защитники не понимали, почему истина на их стороне»
. Авторитетный сайт
MathWorld
, приведя мнение Кнута, всё же констатирует, что обычно значение
считается неопределённым, несмотря на то, что соглашение
позволяет в некоторых случаях упростить запись формул
.
Другие математики утверждают, что наилучшее значение для
зависит от контекста, и поэтому определение его раз и навсегда проблематично
. Согласно Бенсону (1999), «Выбор, следует ли определять
основан на удобстве, а не на правильности. Если мы воздержимся от определения
, то некоторые утверждения становятся излишне неудобными. <…> Консенсус заключается в использовании определения
, хотя есть учебники, которые воздерживаются от определения
»
.
В России
Большая российская энциклопедия
,
Большая советская энциклопедия
, Математический энциклопедический словарь, Справочник по элементарной математике Выгодского, школьные учебники и другие источники однозначно характеризуют
как выражение, не имеющее смысла (неопределённость).
Раскрытие неопределённости 0
0
Если даны две функции
и
, которые стремятся к нулю, то предел
в общем случае, как показано выше, может быть любым. Таким образом, с этой точки зрения
является неопределённостью. Для нахождения предела
в этом случае пользуются методами
раскрытия неопределённости
— как правило, сначала взяв
логарифм
от данного выражения:
Однако при определённых условиях этот предел будет действительно равен единице. А именно: если функции
и
являются
аналитическими
в точке
(то есть в некоторой окрестности точки
совпадают со своим
рядом Тейлора
), и
, а
в окрестности
, то предел
при
стремящемся к нулю справа
равен 1
.
Например, таким образом можно сразу убедиться, что
При этом надо не забывать, что если хотя бы одна из функций не разлагается в ряд Тейлора в точке 0 или
тождественно равен 0, то предел может быть любым, или может не существовать. Например,
Комплексный случай
Для
комплексных чисел
выражение вида
для
многозначно и определяется как
, Однако
комплексный логарифм
не определён ни в какой своей ветви, и это лишает смысла любое соглашение не только для
но и для любого
хотя часть авторов предлагает при
принять соглашение
.
Функция для возведения в целую степень:
. Согласно стандарту,
для любого
, в том числе, когда
равен нулю,
NaN
или бесконечности.
Функция для возведения в произвольную степень:
— по сути равная
. Согласно стандарту,
возвращает значение «
не число
»
NaN
.
Функция для возведения в произвольную степень, которая особо определена для целых чисел:
. Согласно стандарту,
для всех
(так же, как и
). Данное соглашение в целом имеет разумное обоснование (см. ниже), однако вопрос может вызывать случай, когда
x=
NaN
.
Во многих языках программирования ноль в нулевой степени равен 1. Например, в
C++
:
pow(0, 0) == 1
, в языке
Haskell
это верно для всех трёх стандартных операций возведения в степень:
0^0 == 1
,
0^^0 == 1
,
0**0 == 1
. То же касается и стандартного калькулятора MS Windows.
Хотя общеизвестно, что
— это неопределённость, поведение некоторых функций, возвращающих в данном случае
, не является результатом соглашения или ошибкой, оно имеет логическое обоснование. Дело в том, что в компьютерной арифметике числовые данные подразделяются на целые и вещественные. Это может неявно использоваться в некоторых функциях, реализующих операцию возведения в степень. Например, так сделано в калькуляторе Windows и функции
pow
в C++. Для целого и вещественного показателя степени используются различные алгоритмы, и функция возведения в степень анализирует показатель: если он равен целому числу, то вычисление степени идёт по другому алгоритму, в котором отрицательные и нулевое основания степени являются допустимыми. Если показатель степени принадлежит множеству целых чисел и равен 0, а основание - вещественное число, то операцию
следует определять не иначе как
. Поскольку 0 в показателе точный, предельный переход касается только основания и (в отличие от случая, когда показатель тоже вещественный) определён однозначно и равен
. Сказанное в полной мере относится и к случаю вычисления выражения
.
Weisstein, Eric W.
(неопр.)
.
Wolfram MathWorld
. Дата обращения: 5 октября 2018.
12 сентября 2018 года.
Например: Edwards and Penny (1994).
Calculus
, 4th ed, Prentice-Hall, p. 466; Keedy, Bittinger, and Smith (1982).
Algebra Two
. Addison-Wesley, p. 32.
Donald C. Benson,
The Moment of Proof : Mathematical Epiphanies
. New York Oxford University Press (UK), 1999.
ISBN
978-0-19-511721-9
.
Louis M. Rotando; Henry Korn.
(англ.)
//
Mathematics Magazine
: magazine. — 1977. — January (
vol. 50
,
no. 1
). —
P. 41—42
. —
doi
:
.
(неопр.)
www.faqs.org. Дата обращения: 30 августа 2019.
2 декабря 2010 года.
Leonard J. Lipkin.
// The College Mathematics Journal. — 2003. —
Т. 34
,
вып. 1
. —
С. 55—56
. —
ISSN
. —
doi
:
.
13 октября 2019 года.
«Since log(0) does not exist, 0
z
is undefined. For
Re(
z
) > 0
, we define it arbitrarily as 0». (
George F. Carrier, Max Krook and Carl E. Pearson
, Functions of a Complex Variable: Theory and Technique, 2005, p. 15).
«For
z
= 0
,
w
≠ 0
, we define
0
w
= 0
, while 0
0
is not defined».
Mario Gonzalez
, Classical Complex Analysis, Chapman & Hall, 1991, p. 56.
«Let’s start at
x
= 0
. Here
x
x
is undefined».
Mark D. Meyerson
, The
x
x
Spindle,
Mathematics Magazine
69
, no. 3 (June 1996), 198—206.
IEEE Computer Society.
(англ.)
: journal. — IEEE, 2008. — 29 August. —
ISBN 978-0-7381-5753-5
. —
doi
:
.
16 июля 2021 года.