Опера́ция — отображение , ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества ( аргументам ) другой элемент ( ).

Термин «операция», в математике , как правило применяется к арифметическим или логическим действиям, в отличие от термина « оператор », который чаще применяется к некоторым отображениям множества на себя, имеющим интересные для исследований свойства.

Определение

Операция ${\displaystyle f}$ — отображение, областью определения которого является прямое произведение нескольких множеств. Математически операцию можно записать как отображение ${\displaystyle f\colon D\subseteq \underbrace {A\times A\times \cdots \times A} _{n}\to B}$ ( ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle A}$ могут совпадать), где ${\displaystyle n}$ называется арностью операции .

Связанные определения

Операции различаются по количеству множеств, декартово произведение которых является её областью определения. Например, операция может быть унарная , если она отображает один элемент множества на один элемент множества, или бинарная , если сопоставляет двум элементам множества один элемент.

Алгебраической операцией называется операция ${\displaystyle f}$ , у которой область определения равна ${\displaystyle n}$ -й декартовой степени некоторого множества ${\displaystyle A,}$ где ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ — арность , а область значений равна этому множеству ${\displaystyle A,}$ то есть ${\displaystyle f\colon A^{n}\to A}$ .

Свойства

Операции могут обладать или не обладать различными свойствами. Например:

• коммутативность (переместительное свойство) — свойство операции « ${\displaystyle \circ }$ », когда ${\displaystyle a\circ b=b\circ a;}$
• антикоммутативность — например, операция вычитания , потому что ${\displaystyle a-b=-(b-a);}$
• ассоциативность (сочетательное свойство) — свойство операции « ${\displaystyle \circ }$ », когда ${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c);}$
• дистрибутивность (распределительное свойство) — например, операция умножения относительно сложения , так как ${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c;}$
• идемпотентность — если повторная операция уже не изменяет объект, например взятие по модулю : ${\displaystyle |x|={\big |}|x|{\big |}={\Big |}{\big |}|x|{\big |}{\Big |}=\ldots }$

В совокупности коммутативность и антикоммутативность не исчерпывают свойства всех возможных операций: например, возведение в степень не является коммутативной операцией, так как, например, ${\displaystyle 2^{3}\neq 3^{2},}$ но в то же время не является антикоммутативной: к примеру, ${\displaystyle 2^{4}\neq {\color {Red}-}4^{2}.}$

Операции

Арифметические

• Сложение — бинарная операция, например ${\displaystyle 2+7=9}$ .
• Вычитание — обратная сложению операция, например ${\displaystyle 9-7=2}$ .
• Умножение — гипероперация сложения, например ${\displaystyle 2\cdot 3=6}$ .
• Деление — обратная умножению операция, например ${\displaystyle 6:3=2}$ .
• Возведение в степень — гипероперация умножения, например ${\displaystyle 2^{3}=8}$ .
• Извлечение корня — обратная возведению в степень операция, например ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}$ .
• Логарифмирование — вторая обратная возведению в степень операция, например ${\displaystyle \log _{2}8=3}$ .
• Тетрация — гипероперация возведения в степень, например ${\displaystyle ^{3}2=2^{2^{2}}=16}$ .
• Суперкорень и суперлогарифм — обратные операции тетрации.

Сложение и вычитание являются элементарными арифметическими операциями. Все остальные, более сложные операции, получаются в результате гиперопераций. Так, сложение и вычитание относят к операциям первой ступени; умножение и деление — к операциям второй ступени; возведение в степень, извлечение корня и логарифмирование — к операциям третьей ступени; тетрация и её обратные операции являются редко используемыми операциями четвёртой ступени, однако такое гипероперирование можно продолжать бесконечно, вплоть до операций 5-й, 6-й и высших ступеней.

Математического анализа

• Дифференцирование — нахождение производной функции, например ${\displaystyle (x^{2})'=2x}$ .
• Интегрирование — обратно дифференцированию; нахождение первообразной функции, например ${\displaystyle \int 2xdx=x^{2}+C}$ .

Логические операции

Логические операции — операции над элементами из множества двух элементов: «истина» и «ложь», или «1» и «0».

• Отрицание ( ${\displaystyle \neg A}$ ) — унарная операция; преобразует «1» в «0», а «0» в «1».
• Конъюнкция ( ${\displaystyle A\And B}$ ) — бинарная операция; возвращает «1», только если оба аргумента «1».
• Дизъюнкция ( ${\displaystyle A\lor B}$ ) — бинарная операция; возвращает «0», только если оба аргумента «0».

См. также

• Исследование операций
• Гипероператор

Примечания

Ссылки

Для улучшения этой статьи по математике желательно : Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники , подтверждающие написанное . После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.