Измеримое пространство — это пара ${\displaystyle (X,{\mathfrak {A}})}$ , где ${\displaystyle X}$ — множество, а ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ — некоторая σ {\displaystyle \sigma } -алгебра его подмножеств.

Основные сведения

Под измеримым топологическим пространством понимается измеримое пространство ${\displaystyle (X,{\mathfrak {A}})}$ , в котором выбрана ${\displaystyle \sigma }$ — алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ , порождённая некоторой базой множеств топологического пространства X. Минимальная ${\displaystyle \sigma }$ — алгебра, содержащая все открытые множества, называется борелевской σ {\displaystyle \sigma } — алгеброй пространства X; при этом множества ${\displaystyle A\in {\mathfrak {A}}}$ называются борелевскими .

Измеримое пространство ${\displaystyle (X,{\mathfrak {A}})}$ называется сепарабельным , если существует некоторая счётная система множеств ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ , отделяющая точки пространства ${\displaystyle X}$ и порождающая соответствующую ${\displaystyle \sigma }$ — алгебру ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ . Говорят, что система множеств ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ , отделяет точки пространства ${\displaystyle X}$ , если для любых ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ найдутся непересекающиеся множества ${\displaystyle A_{1},A_{2}\in {\mathfrak {C}}}$ такие, что ${\displaystyle x_{1}\in A_{1},x_{2}\in A_{2}}$ .

Произведением измеримых пространств ${\displaystyle (X_{1},{\mathfrak {A}}_{1})}$ и ${\displaystyle (X_{2},{\mathfrak {A}}_{2})}$ называется измеримое пространство ${\displaystyle (X,{\mathfrak {A}})}$ , ${\displaystyle X=X_{1}\times X_{2}}$ , в котором ${\displaystyle \sigma }$ — алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ , порождена произведением ${\displaystyle \sigma }$ — алгебр ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{1}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{2}}$ , то есть ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ порождается полукольцом ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{1}\times {\mathfrak {A}}_{2}}$ всевозможных прямоугольных множеств вида ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}}$ , где ${\displaystyle A_{1}\in {\mathfrak {A}}_{1}}$ , ${\displaystyle A_{2}\in {\mathfrak {A}}_{2}}$ .

Пусть ${\displaystyle (E,{\mathfrak {B}})}$ — некоторое измеримое пространство, а ${\displaystyle T}$ — конечное множество индексов ${\displaystyle t=1,...,n.}$ . Измеримое пространство ${\displaystyle (X,{\mathfrak {A}})}$ , где ${\displaystyle X=E^{T}}$ является ${\displaystyle n}$ - кратным произведением пространства само на себя, а ${\displaystyle \sigma }$ — алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}^{T}}$ есть ${\displaystyle n}$ - кратное произведение соответствующих ${\displaystyle \sigma }$ — алгебр ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ , называется измеримым координатным пространством . Точки ${\displaystyle x={x(1),...,x(n)}}$ этого пространства ${\displaystyle X=E^{T}}$ задаются координатами ${\displaystyle x(t),t\in T}$ . Если ${\displaystyle T}$ произвольное множество, то координатное пространство ${\displaystyle X=E^{T}}$ определяется как совокупность всех функций ${\displaystyle x=x(t)}$ на множестве ${\displaystyle T}$ со значениями в пространстве ${\displaystyle E}$ (отдельные значения ${\displaystyle x(t)}$ можно интерпретировать как координаты точки ${\displaystyle x=x(t)}$ , принадлежащей пространству ${\displaystyle X=E^{T}}$ ).

Пусть ${\displaystyle t_{1},...,t_{n}}$ — произвольные точки множества ${\displaystyle T}$ , где ${\displaystyle n}$ - конечное число, и ${\displaystyle B_{1},...,B_{n}}$ — произвольные подмножества пространства ${\displaystyle E}$ . Множество вида

${\displaystyle {x(t_{1})\in B_{1},...,x(t_{n})\in B_{n}}}$ ,

принадлежащие пространству ${\displaystyle X}$ , называется цилиндрическим множеством в ${\displaystyle X=E^{T}}$ . Другими словами, цилиндрическое множество состоит из тех и только тех точек ${\displaystyle x=x(t)}$ , координаты которых ${\displaystyle x(t_{1}),...,x(t_{n})}$ входит в соответствующие множества ${\displaystyle B_{1},...,B_{n}}$ . Система всех цилиндрических множеств, для которых ${\displaystyle B_{1},...,B_{n}}$ входят в ${\displaystyle \sigma }$ — алгебру ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ пространства ${\displaystyle E}$ , представляют собой полукольцо ${\displaystyle {\mathfrak {B}}^{T}}$ . Измеримым координатным пространством ${\displaystyle (X,{\mathfrak {A}})}$ называется пространство ${\displaystyle X=E^{T}}$ с ${\displaystyle \sigma }$ — алгеброй ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ , порождённой полукольцом ${\displaystyle {\mathfrak {B}}^{T}}$ .

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {A}}(S)}$ , ${\displaystyle S\subseteq T}$ — ${\displaystyle \sigma }$ — алгебра, порождённая полукольцом ${\displaystyle {\mathfrak {B}}^{S}}$ всевозможных цилиндрических множеств с произвольными индексами ${\displaystyle t_{1},...,t_{n}\in S}$ . Если точка ${\displaystyle x'=x'(t)}$ пространства ${\displaystyle X=E^{T}}$ входит во множество ${\displaystyle A}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {A}}(S)}$ и другая точка ${\displaystyle x''=x''(t)}$ такова, что соответствующие координаты этих точек совпадают: ${\displaystyle x'(t)=x''(t)}$ при всех ${\displaystyle t\in S}$ , то ${\displaystyle x''=x''(t)}$ также входит в ${\displaystyle A}$ . Всякое множество A из ${\displaystyle \sigma }$ — алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}(T)}$ принадлежит одновременно некоторой ${\displaystyle \sigma }$ — алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}(S)}$ , где ${\displaystyle S}$ - некоторое счётное множество (зависящее, вообще говоря, от рассматриваемого множества S).

Пусть ${\displaystyle \phi =\phi (x)}$ — функция на измеримом пространстве ${\displaystyle (X,{\mathfrak {A}})}$ со значениями в произвольном пространстве ${\displaystyle Y}$ . Совокупность ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{\phi }}$ всех множеств ${\displaystyle B\subseteq Y}$ таких, что прообразы ${\displaystyle \{\phi \in B\}=\phi ^{-1}(B)}$ входят в ${\displaystyle \sigma }$ -алгебру ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ пространства ${\displaystyle (X,{\mathfrak {A}})}$ является ${\displaystyle \sigma }$ -алгеброй.

Пусть ${\displaystyle X}$ произвольное пространство и ${\displaystyle \phi =\phi (x)}$ — функция на ${\displaystyle X}$ со значениями в измеримом пространстве ${\displaystyle (Y,{\mathfrak {B}})}$ . Совокупность ${\displaystyle {\mathfrak {A}}^{\phi }}$ всех множеств ${\displaystyle A\subseteq X}$ являющихся прообразами ${\displaystyle B}$ из ${\displaystyle \sigma }$ — алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ : ${\displaystyle A=\{\phi \in B\}}$ является ${\displaystyle \sigma }$ -алгеброй.

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathfrak {A}})}$ , ${\displaystyle (Y,{\mathfrak {B}})}$ — измеримые пространства. Функция ${\displaystyle \phi =\phi (x)}$ называется (A , B {\displaystyle {\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}}) измеримой , если для ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$ прообраз ${\displaystyle A=\{\phi \in B\}}$ входит в ${\displaystyle \sigma }$ -алгебру ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ . Если ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ некоторая система множеств, порождающая ${\displaystyle \sigma }$ -алгебру ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ , то функция ${\displaystyle \phi }$ является измеримой тогда, и только тогда, когда для любого ${\displaystyle B\in {\mathfrak {C}}}$ прообраз ${\displaystyle \{\phi \in B\}}$ входит в ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ .

Примечание