Медиантой двух дробей ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ и ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$ с положительными знаменателями называется дробь, числитель которой равен сумме числителей, а знаменатель — сумме знаменателей двух данных дробей:

${\displaystyle {\frac {a+c}{b+d}}.}$

Свойства

Медианта двух дробей заключена между ними, то есть

если ${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}$ , то ${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}}$ .

Если записать 2 дроби, а потом несколько раз между каждыми 2 соседними дробями их медианту, то получится ряд Фарея .

История

Понятие медианты двух дробей введено А.Я.Хинчиным в теории цепных дробей для целей лучшего уяснения взаимного расположения и закона последовательного образования промежуточных дробей. Однако, в теории цепных дробей, для исследования промежуточных дробей, термин «медианта» не прижился . В других математических науках, например, в математическом анализе и в теории обыкновенных дифференциальных уравнений свойства медианты n отношений действительных чисел использовались при доказательстве некоторых положений, хотя само определение понятия медианты не было дано. Косвенно, наиболее широкое использование медианты n отношений действительных чисел нашло в прикладной математике, в частности в математической статистике. Но определение медианты в этих работах также не было дано. Морис Клайн , по сути, заново «открыл» медианту, предложив «футбольную арифметику» сложения дробей. Такое сложение М.Клайн использовал для определения средней результативности футбольного игрока нападающего за две игры. Им также рассмотрены случаи определения эффективности торговли и средней скорости автомобиля на основе скоростей на двух участках пути.

В настоящее время медианта используется в демографии и биологии .

Примеры использования

• Бинарное дерево Штерна — Броко
• Функция Минковского

Литература и примечания