Interested Article - Сферические функции

Гармонические сферические функции

Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа , записанную в сферических координатах . Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и при решении физических задач, обладающих сферической симметрией. Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике , в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида , магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения .

Определение

Вещественные сферические функции Y lm , l =0…4 (сверху вниз), m =0…4 (слева направо). Функции отрицательного порядка Y l-m повёрнуты вокруг оси Z на 90/ m градусов относительно функций положительного порядка.

Сферические функции являются собственными функциями оператора Лапласа в сферической системе координат (обозначение ). Они образуют ортонормированную систему в пространстве функций на сфере в трёхмерном пространстве:

,

где * обозначает комплексное сопряжение , символ Кронекера .

Сферические функции имеют вид

,

где функции являются решениями уравнения

и имеют вид

Здесь — присоединённые многочлены Лежандра , а факториал .

Присоединенные многочлены Лежандра с отрицательным здесь вводятся как

Решение уравнения Лапласа в сферических координатах есть так называемая , получаемая умножением сферической функции на решение радиального уравнения.

Вещественная форма

Вещественные сферические функции до шестого порядка

Для сферических функций форма зависимости от угла — комплексная экспонента. Используя формулу Эйлера , можно ввести вещественные сферические функции. Иногда их удобнее использовать в связи с тем, что они могут быть наглядно показаны на иллюстрациях, в отличие от комплексных. Однако значимое удобство комплексных функций (утрачиваемое при переходе к вещественным) состоит в независимости квадрата их модуля от угла .

Обратное преобразование:

Иногда вещественные сферические функции называют зональными, тессеральными и секториальными . Функции с m > 0 зависят от угла как косинус, а с m < 0 — как синус.

Повороты

Поворот вещественной сферической функции с m=0 и l=3. Коэффициенты не равны D-матрицам Вигнера, поскольку показаны вещественные функции, но могут быть получены при переразложении по комплексным функциям

Рассмотрим поворот системы координат , на Углы Эйлера который преобрaзует единичный вектор в вектор . При этом углы вектора в новой системе координат выражаются через углы в старой системе координат следующим образом

В новой системе координат сферическая функция с индексами и будет представима в виде линейной комбинации всех функций с тем же номером и различными . Коэффициентами в линейной комбинации являются комплексно- сопряженные D-матрицы Вигнера

Сферические функции с номером образуют базис неприводимого представления размерности группы вращений SO(3).

Разложение плоской волны по сферическим функциям

Комплексная экспонента может быть представлена в виде разложения по сферическим функциям

Здесь — сферическая функция Бесселя

Разложение произведений сферических функций

Разложения Клебша-Гордана для произведений двух сферических функций выглядят следующим образом :

См. также

Примечания

  1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. от 27 декабря 2019 на Wayback Machine
  2. M. A. Morrison, G. A. Parker . от 1 октября 2019 на Wayback Machine . — Australian Journal of Physics, Vol. 40, pp. 465, 1987
  3. Варшалович Д. А. , Москалёв А. Н., Херсонский В. К. от 11 ноября 2007 на Wayback Machine — Л.: Наука, 1975.

Литература


Приложения

Ссылки

  • Spherical harmonics applied to Acoustic Field analysis on
  • by Stephen Wolfram and by Michael Trott,
Источник —

Same as Сферические функции