Бе́та-фу́нкция Дирихле́ ( Dirichlet beta function ) в математике , иногда называемая бета-функцией Каталана ( Catalan beta function ) — специальная функция , тесно связанная с дзета-функцией Римана . Она является частным случаем L-функции Дирихле . Она названа в честь немецкого математика Петера Густава Лежён-Дирихле ( Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ), а альтернативное название — в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана ( Eugène Charles Catalan ).

Бета-функция Дирихле определяется как

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}\;,}$

или, эквивалентным образом, через интегральное представление

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx\;,}$

где Γ( s ) — гамма-функция Эйлера . В обоих случаях предполагается, что Re( s ) > 0.

Связь с другими функциями

Альтернативное определение через дзета-функцию Гурвица справедливо на всей комплексной плоскости переменной s :

${\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left[\zeta \left(s,{\tfrac {1}{4}}\right)-\zeta \left(s,{\tfrac {3}{4}}\right)\right]\;.}$

Бета-функция Дирихле также связана с ( англ. Lerch transcendent ),

${\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{\tfrac {1}{2}}\right)\;.}$

Это соотношение также верно на всей комплексной плоскости переменной s .

Функциональное соотношение

Соотношение между β( s ) и β(1- s ) позволяет аналитически продолжить бета-функцию Дирихле на левую часть комплексной плоскости переменной s (то есть для Re( s )<0),

${\displaystyle \beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos \left({\tfrac {1}{2}}\pi s\right)\,\beta (1-s)\;,}$

где Γ( s ) — гамма-функция Эйлера .

Частные значения

Частные значения бета-функции Дирихле при целых значения аргумента включают в себя

${\displaystyle \beta (0)\;=\;{\tfrac {1}{2}},}$

${\displaystyle \beta (1)\;=\;{\tfrac {1}{4}}\pi ,}$

${\displaystyle \beta (2)\;=\;G,}$

${\displaystyle \beta (3)\;=\;{\tfrac {1}{32}}\pi ^{3},}$

${\displaystyle \beta (4)\;=\;{\tfrac {1}{768}}\left[\psi _{3}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-8\pi ^{4}\right],}$

${\displaystyle \beta (5)\;=\;{\tfrac {5}{1536}}\pi ^{5},}$

${\displaystyle \beta (7)\;=\;{\tfrac {61}{184320}}\pi ^{7},}$

${\displaystyle \beta (9)\;=\;{\tfrac {1385}{41287680}}\pi ^{9},}$

где G — постоянная Каталана , а ${\displaystyle {\textstyle {\psi _{3}({\frac {1}{4}})}}}$ — частное значение пентагамма-функции ( полигамма-функции третьего порядка).

В общем случае для любого положительного целого k

${\displaystyle \beta (2k)={\frac {1}{2^{4k}(2k-1)!}}\left[\psi _{2k-1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\psi _{2k-1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right],}$

${\displaystyle \beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!},}$

где ${\displaystyle \psi _{2k-1}(z)\equiv \psi ^{(2k-1)}(z)}$ — полигамма-функция порядка ( 2k-1 ), а E _{2 k} — числа Эйлера .

Для отрицательных значений аргумента (для целых неотрицательных k ) мы имеем

${\displaystyle \beta (-2k)={\tfrac {1}{2}}E_{2k}\;,}$

${\displaystyle \beta (-2k-1)=0\;,}$

то есть β( s ) равна нулю для всех целых нечётных отрицательных значений аргумента (см. график функции) .

Приблизительные значения

s	приблизительное значение β( s )	OEIS
1	0.7853981633974483096156608
2	0.9159655941772190150546035
3	0.9689461462593693804836348
4	0.9889445517411053361084226
5	0.9961578280770880640063194
6	0.9986852222184381354416008
7	0.9995545078905399094963465
8	0.9998499902468296563380671
9	0.9999496841872200898213589
10	0.9999831640261968774055407

Производная бета-функции Дирихле

Для некоторых целых значений аргумента s производная β'( s ) может быть вычислена аналитически ,

${\displaystyle \beta ^{\prime }(-1)={\frac {2G}{\pi }}\;,}$

${\displaystyle \beta ^{\prime }(0)=\ln \left({\frac {\Gamma ^{2}({\tfrac {1}{4}})}{2\pi {\sqrt {2}}}}\right)\;,}$

${\displaystyle \beta ^{\prime }(1)={\frac {\pi }{4}}\left(\gamma +2\ln 2+3\ln \pi -4\ln \Gamma ({\tfrac {1}{4}})\right)\;,}$

(см. также OEIS и ).

Кроме этого, для целых положительных n производную можно представить в виде бесконечной суммы

${\displaystyle \beta ^{\prime }(n)=-\sum _{k=1}^{\infty }\ln \left({\frac {(4k+1)^{1/(4k+1)^{n}}}{(4k-1)^{1/(4k-1)^{n}}}}\right)\;.}$

См. также

• Дзета-функция Римана
• Постоянная Каталана
• Дзета-функция Гурвица

Примечания

Литература

• J. Spanier & K. B. Oldham. An Atlas of Functions , Hemisphere, New York, 1987
• Eric W. Weisstein. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .