Аффи́нная длина́ — параметр плоской кривой , который сохраняется при эквиаффинных преобразованиях (то есть аффинных преобразованиях , сохраняющих площадь ).

Определение

Для плоской кривой ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{2}}$ аффинная длина вычисляется по формуле

${\displaystyle l=\int \limits _{a}^{b}|{\dot {\gamma }}(t)\times {\ddot {\gamma }}(t)|^{1/3}dt,}$

где ${\displaystyle \times }$ обозначает векторное произведение , а ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ и ${\displaystyle {\ddot {\gamma }}(t)}$ — первую и вторую производную.

Частные случаи

• Аффинная длина графика ${\displaystyle y=f(x)}$ функции ${\displaystyle f}$ задаётся как

  ${\displaystyle l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt[{3}]{|f''(x)|}}dx,}$

• Для кривой ${\displaystyle \gamma (s)}$ с натуральным параметром и кривизной ${\displaystyle \varkappa (s)}$

  ${\displaystyle l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt[{3}]{|\varkappa (s)|}}ds.}$

Свойства

• Аффинная длина дуги параболы равна ${\displaystyle 2{\sqrt[{3}]{S}},}$ где S есть площадь треугольника, образованного хордой дуги и касательными к параболе в концах дуги.
• Среди выпуклых замкнутых кривых с фиксированной аффинной длиной эллипсы (и только они) ограничивают наименьшую площадь.

Вариации и обобщения

Существуют также обобщения аффинной длины на случай пространственных кривых и для общей аффинной группы, а также других её подгрупп.

Литература

• Л. Фейеш Тот, , М., Физматлит, 1958. — 364 с.