Interested Article - Последовательный статистический критерий

Последовательный статистический критерий — , используемая для проверки статистических гипотез в последовательном анализе .

Пусть наблюдению в статистическом эксперименте доступна случайная величина с неизвестным (полностью или частично) распределением (формально, в математической нотации, , где вероятностное пространство снабжено -алгеброй событий , и измерима относительно Борелевской -алгебры).

Пусть проверяется нулевая гипотеза против альтернативы .

На каждом этапе статистического эксперимента, независимо от других этапов, наблюдается случайная величина — копия , до тех пор пока , где — некоторый (случайный) момент остановки . Последовательный статистический критерий — это пара , где — любая функция от , принимающая значение 0 или 1 (решение, соответственно, в пользу нулевой или альтернативной гипотезы).

Этому определению может быть придан формальный смысл с помощью понятия момента остановки относительно последовательности -алгебр , порожденных случайными величинами , . Тогда должна быть измеримой относительно -алгебры событий, предшествующих моменту : .

Функция мощности критерия в "точке" определяется как . Если , то называется вероятностью ошибки первого рода (вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, когда она верна). Если , то называется вероятностью ошибки второго рода (вероятность принять нулевую гипотезу, когда она неверна).

Рандомизированные последовательные критерии

Рандомизированный последовательный критерий проверки гипотез может быть определен как пара , где , , и , - (измеримые) функции, принимающие значения между 0 и 1, . На каждом этапе (если эксперимент до него дошел) интерпретируется как вероятность остановится на этом этапе, без проведения дальнейших наблюдений, а - как вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, если остановка на этом этапе произошла.

называется рандомизированным правилом остановки, а - рандомизированным правилом принятия решения.

Если все принимают только значения 0 (продолжение наблюдений) и 1 (остановка), то правило остановки определяет нерандомизированный момент остановки . Аналогично, если все принимают только значения 0 (принятие нулевой гипотезы) и 1 (отвержение нулевой гипотезы), то правило принятия решения определяет нерандомизированную решающую функцию: , если .

Функция мощности критерия в "точке" определяется как , где - математическое ожидание относительно . Если , то - вероятность ошибки первого рода. Если , то вероятность ошибки второго рода равна , где . Соответственно, средний объем выборки при использовании правила остановки определяется как , если (в противном случае ).

Пример

(критерий Вальда )

Ссылки

  • Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. Оптимальные правила остановки — М.: Наука, 1976.
  • Ghosh, M., Mukhopadhyay, N., and Sen, P.K. Sequential Estimation, New York: Wiley, 1997.
Источник —

Same as Последовательный статистический критерий