Сохраняющийся ток — понятие, используемое в математическом аппарате физики, для описания процессов переноса сохраняющейся физической величины, например электрического заряда. В математических векторных обозначениях он обозначается как величина ${\displaystyle j^{\mu }}$ , которая удовлетворяет уравнению непрерывности ${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0}$ . Уравнение непрерывности представляет собой закон сохранения , откуда и произошло название для сохраняющегося тока.

Действительно, интегрирование уравнения непрерывности по объему ${\displaystyle V}$ c поверхностью, через которую не текут токи, приводит к закону сохранения

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}Q=0,}$$

${\textstyle Q=\int _{V}j^{0}dV}$

В калибровочных теориях калибровочные поля рассматриваются совместно с сохраняющимися токами. Например, электромагнитное поле рассматривается совместно с сохраняющимся электрическим током .

Сохраняемые величины и симметрии

Сохраняющийся ток — это поток канонически сопряженной величины, обладающей непрерывной трансляционной симметрией . Уравнение непрерывности для сохраняющегося тока является математической формулировкой закона сохранения . Примерами канонически сопряженных величин являются:

• время и энергия : непрерывная трансляционная симметрия (однородность) времени подразумевает сохранение энергии ;
• пространство и импульс : непрерывная трансляционная симметрия (однородность) пространства подразумевает сохранение импульса ;
• пространство и угловой момент : непрерывная "вращательная" симметрия (однородность относительно вращений) пространства подразумевает сохранение углового момента .

Сохраняющиеся токи играют чрезвычайно важную роль в теоретической физике , так как, согласно теореме Нётер , существование сохраняющегося тока связано с существованием симметрии некоторой величины в исследуемой системе. С практической точки зрения все сохраняющиеся токи являются нётеровыми токами , поскольку существование сохраняющегося тока подразумевает существование симметрии. Сохраняющиеся токи играют важную роль в теории дифференциальных уравнений в частных производных , поскольку существование сохраняющегося тока указывает на существование интегралов движения , которые необходимы для интегрируемости системы . Закон сохранения выражается как обращение в нуль 4- дивергенции , где нётеров заряд образует нулевую составляющую 4-тока .

Сохраняющиеся токи в электромагнетизме

Сохранение заряда , например, в обозначениях уравнений Максвелла :

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$$

где ${\displaystyle \rho }$ — плотность электрического заряда, ${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {v} }$ — плотность тока ( ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — скорость зарядов).

См. также

• Законы сохранения
• Теорема Нётер

Примечания