Цикли́ческие подкла́ссы — подмножества неразложимого периодического класса цепи Маркова такие, что цепь проходит их один за другим по порядку.

Теорема

Пусть дана цепь Маркова ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}$ с дискретным временем, дискретным пространством состояний ${\displaystyle S}$ и матрицей переходных вероятностей ${\displaystyle P}$ . Пусть ${\displaystyle C\subset S}$ — неразложимый класс состояний с периодом ${\displaystyle d}$ . Тогда существует разбиение множества ${\displaystyle C}$ : ${\displaystyle C_{0},\ldots ,C_{d-1}\subset C}$ , то есть

${\displaystyle C_{k}\cap C_{l}=\emptyset ,\;k\not =l,\quad \bigcup \limits _{k=0}^{d-1}C_{k}=C}$

такое, что

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{n+1}\in C_{k+1\!\!\!\!\!\mod d}\mid X_{n}\in C_{k})=1,\quad k=0,\ldots ,d-1,\;n\in \mathbb {N} }$ .

Замечание

Таким образом внутри любого неразложимого периодического класса цепь Маркова описывает путь:

${\displaystyle C_{k}\to C_{k+1}\to \cdots \to C_{d-1}\to C_{0}\to \cdots \to C_{k-1}\to C_{k}\to \cdots }$ ,

где ${\displaystyle k}$ — индекс начального подмножества.

Определение

Построенные таким образом подмножества ${\displaystyle C_{k},\;k=1,\ldots ,d-1}$ называются цикли́ческими подкла́ссами .

Цепь внутри циклического подкласса

Очевидно имеем:

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{n+d}\in C_{k}\mid X_{n}\in C_{k})=1,\quad k=0,\ldots ,d-1,\;n\in \mathbb {N} }$ ,

то есть через каждые ${\displaystyle d}$ шагов цепь возвращается в тот же циклический подкласс. Тогда для любого фиксированного ${\displaystyle k=0,\ldots ,d-1}$ можно построить новую цепь Маркова ${\displaystyle \left\{X_{n}^{(k)}\right\}_{n\geq 0}}$ со множеством состояний ${\displaystyle C_{k}}$ и матрицей переходных вероятностей ${\displaystyle P^{d}}$ . Эта цепь будет неразложимой и апериодичной . Таким образом изучение многих вопросов поведения цепи Маркова сводится к случаю апериодической неразложимой цепи.