Ма́трица сдви́га (также сдви́говая ма́трица ) — бинарная матрица с единицами только на главных или и нулями в остальных местах. Сдвиговая матрица U с единицами на наддиагонали называется верхне-сдвиговой матрицей . Соответствующая поддиагональная матрица L называется нижне-сдвиговой матрицей . Компоненты матриц U и L с индексами ( i , j ) имеют вид

${\displaystyle U_{ij}=\delta _{i+1,j},\quad L_{ij}=\delta _{i,j+1},}$

где ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — дельта-символ Кронекера .

Например, сдвиговая 5×5 -матрица

${\displaystyle U_{5}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad L_{5}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.}$

Очевидно, при транспонировании нижне-сдвиговой матрицы получается верхне-сдвиговая матрица, и наоборот. Умножение слева произвольной матрицы A на нижне-сдвиговую матрицу приводит к сдвигу элементов матрицы A вниз на одну позицию, причём верхняя строчка результирующей матрицы заполняется нулями. Умножение справа произвольной матрицы A на нижне-сдвиговую матрицу приводит к сдвигу влево на одну позицию с заполнением нулями правого столбца. Аналогичные операции с участием верхне-сдвиговой матрицы приводят к противоположным сдвигам.

Все сдвиговые матрицы нильпотентны : сдвиговая n×n -матрица S в степени, равной её размерности n , равна нулевой матрице .

Свойства

Пусть L и U — n×n -матрицы сдвига, нижняя и верхняя, соответственно. Следующие свойства верны для обеих матриц U и L (поэтому приведём их только для U ):

• Определитель det( U ) = 0 ( вырожденность );
• След tr( U ) = 0;
• Ранг rank( U ) = n − 1
• Характеристический многочлен матрицы U имеет вид:

${\displaystyle p_{U}(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}.}$

• U ⁿ = 0 (нильпотентность). Это свойство следует из предыдущего по теореме Гамильтона — Кэли .

• Перманент per( U ) = 0.

Следующие свойства показывают, как матрицы U и L связаны между собой:

• L ^T = U ; U ^T = L .

• Ядра матриц U и L :

${\displaystyle \operatorname {ker} (U)=\operatorname {span} \{(1,0,\ldots ,0)^{T}\},}$

${\displaystyle \operatorname {ker} (L)=\operatorname {span} \{(0,\ldots ,0,1)^{T}\}.}$

• Спектр матриц U и L нулевой (т.е. они имеют единственное собственное значение, и оно равно нулю): ${\displaystyle \{0\}}$ . Алгебраическая кратность этого нуля равна n , а его геометрическая кратность равна 1. Из выражений для ядер следует, что единственный (с точностью до масштабирования) собственный вектор матрицы U имеет вид ${\displaystyle (1,0,\ldots ,0)^{T},}$ а единственный собственный вектор матрицы L имеет вид ${\displaystyle (0,\ldots ,0,1)^{T}.}$

• Для произведений LU и UL имеем:

${\displaystyle UL=I-\operatorname {diag} (0,\ldots ,0,1),}$

${\displaystyle LU=I-\operatorname {diag} (1,0,\ldots ,0).}$

Обе эти матрицы идемпотентны , симметричны и имеют то же ранг, что и U и L .

• L ^{n − a} U ^{n − a} + L ^a U ^a = U ^{n − a} L ^{n − a} + U ^a L ^a = I ( единичная матрица ), для любого целого a от 0 до n включительно.

Примеры

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}};\quad A={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.}$

Тогда: ${\displaystyle SA={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix}};\quad AS={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}}.}$

Очевидно, существует много различных перестановок. Например, матрица ${\displaystyle S^{T}AS}$ соответствует сдвигу матрицы A вверх и влево вдоль главной диагонали.

${\displaystyle S^{T}AS={\begin{pmatrix}2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.}$

См. также

• Нильпотентная матрица

Ссылки